Calcule a integral de linha indicada sobre a curva dada. \int_{C} y d x+x d y, sendo C a curva definida por \vec{r}(t)=t_{i}+t_{j}^{2} para 0 \leq t \leq 1.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
A integral a calcular é da forma \int_{C} P\,dx + Q\,dy com P(x,y)=y e Q(x,y)=x.
Passo 2
Fórmula geral e interpretação (aulas rápidas para você levar para a prova):
Se temos uma forma diferencial P(x,y)\,dx + Q(x,y)\,dy e uma curva parametrizada por x=x(t), y=y(t), a\le t\le b, então a integral de linha é dada por
Calcule a integral em t passo a passo (isso você tem que saber fazer sem calculadora):
A primitiva de 3t^{2} é t^{3}, porque \frac{d}{dt}t^{3}=3t^{2}. Assim
Usando a parametrização: no ponto inicial t=0 temos (x,y)=(0,0) e xy=0; no ponto final t=1 temos (x,y)=(1,1) e xy=1. Assim a integral é 1-0=1, checando o resultado obtido pelo cálculo direto.
Passo 7
Resumo final e incentivo: a integral vale 1. Esse problema é ótimo porque mostra duas estratégias que funcionam rápido na prova — o procedimento paramétrico direto (padrão) e o reconhecimento de uma diferencial exata (atalho elegante). Você já ganhou duas ferramentas para usar em questões parecidas. Força aí que você consegue!