Calcule a integral de linha indicada sobre a curva dada.
\int_{C} y d x+x d y, sendo C a curva definida por \vec{r}(t)=t_{i}+t_{j}^{2} para 0 \leq t \leq 1.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\int_{C} y\,dx + x\,dy
onde a curva C é dada pela parametrização
\vec{r}(t)=t\,\mathbf{i}+t^{2}\,\mathbf{j},\qquad 0\le t\le 1.
Informações relevantes fornecidas:
  • A parametrização fornece x(t)=t e y(t)=t^{2}.
  • O parâmetro t varia de 0 a 1.
  • A integral a calcular é da forma \int_{C} P\,dx + Q\,dy com P(x,y)=y e Q(x,y)=x.

Passo 2

Fórmula geral e interpretação (aulas rápidas para você levar para a prova):
Se temos uma forma diferencial P(x,y)\,dx + Q(x,y)\,dy e uma curva parametrizada por x=x(t), y=y(t), a\le t\le b, então a integral de linha é dada por
\int_{C} P\,dx + Q\,dy = \int_{a}^{b}\bigl(P(x(t),y(t))\,x'(t) + Q(x(t),y(t))\,y'(t)\bigr)\,dt.
Explicando cada parte:
  • x'(t) e y'(t) são as derivadas das coordenadas em relação a t.
  • Substituímos x(t) e y(t) nas funções P e Q.
  • Multiplicamos P(x(t),y(t)) por x'(t) (isso corresponde a P\,dx) e Q(x(t),y(t)) por y'(t) (corresponde a Q\,dy), somamos e integramos em t de a até b.
Vou usar esse método porque é direto e mecânico — ótimo para prova — mas depois eu mostro um atalho elegante que também vale.

Passo 3

Aplicando a parametrização dada:
  • Temos x(t)=t e y(t)=t^{2}.
  • Calculamos as derivadas:
x'(t)=\frac{d}{dt}t=1,\qquad y'(t)=\frac{d}{dt}t^{2}=2t.
Agora substituímos em P(x,y)=y e Q(x,y)=x:
P(x(t),y(t))=y(t)=t^{2},\qquad Q(x(t),y(t))=x(t)=t.
Pela fórmula do passo anterior, o integrando em t é
P(x(t),y(t))\,x'(t)+Q(x(t),y(t))\,y'(t)=t^{2}\cdot 1 + t\cdot 2t.

Passo 4

Simplificando o integrando:
t^{2}\cdot 1 + t\cdot 2t = t^{2} + 2t^{2} = 3t^{2}.
Portanto a integral fica
\int_{C} y\,dx + x\,dy = \int_{0}^{1} 3t^{2}\,dt.

Passo 5

Calcule a integral em t passo a passo (isso você tem que saber fazer sem calculadora):
A primitiva de 3t^{2} é t^{3}, porque \frac{d}{dt}t^{3}=3t^{2}. Assim
\int_{0}^{1} 3t^{2}\,dt = \bigl[t^{3}\bigr]_{0}^{1} = 1^{3}-0^{3}=1.

Passo 6

Atalho (ideia conceitual útil para prova): note que a forma diferencial dada é exata, porque
d(xy)=x\,dy + y\,dx.
Logo y\,dx + x\,dy = d(xy). Sempre que a forma é um diferencial exato, a integral de linha depende apenas dos extremos da curva e vale
\int_{C} d(xy) = (xy)\Big|_{\text{inicial}}^{\text{final}}.
Usando a parametrização: no ponto inicial t=0 temos (x,y)=(0,0) e xy=0; no ponto final t=1 temos (x,y)=(1,1) e xy=1. Assim a integral é 1-0=1, checando o resultado obtido pelo cálculo direto.

Passo 7

Resumo final e incentivo: a integral vale 1. Esse problema é ótimo porque mostra duas estratégias que funcionam rápido na prova — o procedimento paramétrico direto (padrão) e o reconhecimento de uma diferencial exata (atalho elegante). Você já ganhou duas ferramentas para usar em questões parecidas. Força aí que você consegue!

Resposta

1

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