Questão 1. (2.0) Calcule o gradiente das seguintes funções.
f(x, y)=x^5+3 x^3 y^2-15 x^2 y-12 y,

Passo 1

O enunciado pede o gradiente da função
f(x,y)=x^5+3x^3y^2-15x^2y-12y
O gradiente é o vetor formado pelas derivadas parciais partial f/partial x e partial f/partial y. Vamos usar as regras de derivação termo a termo, tratando uma variável de cada vez.

Passo 2

Para partial fpartial x derivamos em relação a x, tratando y como constante:
  • dfracpartialpartial x(x^5)=5x^4.
  • dfracpartialpartial x(3x^3y^2)=3cdot3x^2y^2=9x^2y^2.
  • dfracpartialpartial x(-15x^2y)=-15cdot2x,y=-30xy.
  • dfracpartialpartial x(-12y)=0.
    Somando tudo:
partial fpartial x=5x^4+9x^2y^2-30xy

Passo 3

Para partial fpartial y derivamos em relação a y, tratando x como constante:
  • dfracpartialpartial y(x^5)=0.
  • dfracpartialpartial y(3x^3y^2)=3x^3cdot2y=6x^3y.
  • dfracpartialpartial y(-15x^2y)=-15x^2.
  • dfracpartialpartial y(-12y)=-12.
    Somando:
partial fpartial y=6x^3y-15x^2-12

Passo 4

Juntando as duas derivadas, o gradiente fica
nabla f(x,y)=l(,partial fpartial x,,partial fpartial yr)

Resposta

nabla f(x,y)=l(5x^4+9x^2y^2-30xy,;6x^3y-15x^2-12r)

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