Seja
(a) Encontre lim x 2^- f(x) e lim x 2^+ f(x).
(b) Existe lim x 2 f(x) ?
(c) Esboce o gráfico de f.
Passo 1
O enunciado define a função por partes
f(x)= x^2,&se x<= 2, 8-2x,&se x>2
Pede (a) os limites laterais em x=2, (b) o limite total em x=2 e (c) o esboço do gráfico. Vamos usar o conceito de limite de função definida por pedaços, verificar se os limites laterais coincidem e, por fim, desenhar cada ramo.
Passo 2
Para calcular limxto 2^-f(x)
aproximamo-nos de 2 pela esquerda, onde vale f(x)=x^2. Logo,
limxto 2^-f(x) =limxto 2^-x^2 =2^2 =4
Passo 3
Para calcular limxto 2^+f(x)
aproximamo-nos de 2 pela direita, onde vale f(x)=8-2x. Portanto,
limxto 2^+f(x) =limxto 2^+(8-2x) =8-2cdot2 =4
Passo 4
Os limites laterais coincidem em 4. Logo, existe limxto 2f(x)
e vale
limxto 2f(x)=4
Passo 5
Para esboçar o gráfico de f:
– No intervalo x<= 2, desenhe a parábola y=x^2, incluindo o ponto (2,4).
– No intervalo x>2, desenhe a reta y=8-2x; em x=2 a reta atinge y=4, mas esse ponto fica aberto, pois esse ramo não inclui x=2. Em seguida a reta desce com inclinação -2.
Resposta
(a) limxto 2^-f(x)=4 limxto 2^+f(x)=4
(b) Sim. limxto 2f(x)=4.
(c) Gráfico: a parábola y=x^2 para x<= 2 passando por (2,4) e, para x>2, a reta y=8-2x com ponto aberto em (2,4) e declive -2.