Questão 1. (2.0) Calcule o gradiente das seguintes funções.
f(x, y)=e^x^2+y^2 cos (x y)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o gradiente, ou seja, o vetor das derivadas parciais l(partial f/partial x,;partial f/partial yr), de duas funções de duas variáveis. Vamos usar a regra da cadeia sempre que a função for composta.

Passo 2

Para f(x,y)=e^x^2+y^2 definimos u(x,y)=x^2+y^2. Pela regra da cadeia,
partial fpartial x =e^u,partial upartial x =e^x^2+y^2cdot 2x =2x,e^x^2+y^2,
partial fpartial y =e^u,partial upartial y =e^x^2+y^2cdot 2y =2y,e^x^2+y^2
Logo,
nabla f(x,y)=l(2x,e^x^2+y^2,;2y,e^x^2+y^2r)

Passo 3

Para f(x,y)=cos(xy) definimos v(x,y)=xy. De novo pela regra da cadeia,
partial fpartial x =-sin(v),partial vpartial x =-sin(xy)cdot y =-y,sin(xy),
partial fpartial y =-sin(v),partial vpartial y =-sin(xy)cdot x =-x,sin(xy)
Logo,
nabla f(x,y)=l(-y,sin(xy),;-x,sin(xy)r)

Resposta

Para f(x,y)=e^x^2+y^2:
nabla f(x,y)=l(2x,e^x^2+y^2,;2y,e^x^2+y^2r)
Para f(x,y)=cos(xy):
nabla f(x,y)=l(-y,sin(xy),;-x,sin(xy)r)

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