(2 pontos) Calcule os limites abaixo, justificando todos os passos.
lim x 0 sen(4 x)tan (5 x)

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limxto0sin(4x)tan(5x)
Isso envolve limites trigonométricos fundamentais, em especial
limuto0sin uu=1 e limuto0tan uu=1

Passo 2

Reescrevo tan(5x) em termos de seno e cosseno:
sin(4x)tan(5x) = sin(4x)sin(5x)cos(5x) = sin(4x),cos(5x)sin(5x)

Passo 3

Para usar os limites padrões, introduzo e agrupo fatores de x:
sin(4x)cos(5x)sin(5x) = sin(4x)4x;cdot;5xsin(5x);cdot;45;cdot;cos(5x)
Aqui fiz:
  • sin(4x)=sin(4x)4xcdot4x,
  • sin(5x)=sin(5x)5xcdot5x,
    e isolei o fator tfrac45.

Passo 4

Agora aplico limites em cada fator sabendo que limxto0sin(4x)4x=1, limxto05xsin(5x)=1 e limxto0cos(5x)=1. Logo
limxto0sin(4x)tan(5x) = 1cdot1cdot45cdot1 = 45

Resposta

45

Exercícios relacionados