onde B é a bola de centro na origem e raio 4.\n
Informações dadas:
A região B é a bola centrada na origem com raio 4, isto é, B=\{(x,y,z)\mid x^{2}+y^{2}+z^{2}\le 4^{2}\}.
O integrando é \left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{2}.
Queremos o valor numérico da integral sobre toda a bola.
Passo 2
Por que trocar de coordenadas? Vou usar coordenadas esféricas porque a região B é perfeitamente esférica (bola centrada na origem) e o integrando depende só de x^{2}+y^{2}+z^{2}, ou seja, só do raio. Isso simplifica muito o cálculo.\n
Definição das coordenadas esféricas (convencional):
x = r\sin\varphi\cos\theta,\qquad y = r\sin\varphi\sin\theta,\qquad z = r\cos\varphi,
onde r\ge 0 é a distância ao origem, \varphi\in[0,\pi] é o ângulo polar (medido a partir do eixo z) e \theta\in[0,2\pi] é o ângulo azimutal no plano xy.\n
Para a nossa bola com raio 4 os limites são:
Elemento de volume em coordenadas esféricas: é obrigatório saber o fator de escala (Jacobiano). O elemento volumétrico é
dV = r^{2}\sin\varphi\,dr\,d\varphi\,d\theta.
Breve intuição: a pequena “caixinha” em esféricas tem dimensões aproximadas dr, r\,d\varphi e r\sin\varphi\,d\theta; multiplicando dá r^{2}\sin\varphi\,dr\,d\varphi\,d\theta.
Passo 4
Expressar o integrando em esféricas: note que
x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2},
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\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{2}=r^{4}.
Multiplicando pelo elemento de volume, o integrando total vira r^{4}\cdot r^{2}\sin\varphi = r^{6}\sin\varphi.