Questão 4 Calcule
\iiint_{B}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{2} d V
onde B - é a bola com centro na origem e raio 4 .

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
\iiint_{B}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{2}\,dV
onde B é a bola de centro na origem e raio 4.\n
Informações dadas:
  • A região B é a bola centrada na origem com raio 4, isto é, B=\{(x,y,z)\mid x^{2}+y^{2}+z^{2}\le 4^{2}\}.
  • O integrando é \left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{2}.
  • Queremos o valor numérico da integral sobre toda a bola.

Passo 2

Por que trocar de coordenadas? Vou usar coordenadas esféricas porque a região B é perfeitamente esférica (bola centrada na origem) e o integrando depende só de x^{2}+y^{2}+z^{2}, ou seja, só do raio. Isso simplifica muito o cálculo.\n
Definição das coordenadas esféricas (convencional):
x = r\sin\varphi\cos\theta,\qquad y = r\sin\varphi\sin\theta,\qquad z = r\cos\varphi,
onde r\ge 0 é a distância ao origem, \varphi\in[0,\pi] é o ângulo polar (medido a partir do eixo z) e \theta\in[0,2\pi] é o ângulo azimutal no plano xy.\n
Para a nossa bola com raio 4 os limites são:
0\le r\le 4,\qquad 0\le \varphi\le \pi,\qquad 0\le \theta\le 2\pi.

Passo 3

Elemento de volume em coordenadas esféricas: é obrigatório saber o fator de escala (Jacobiano). O elemento volumétrico é
dV = r^{2}\sin\varphi\,dr\,d\varphi\,d\theta.
Breve intuição: a pequena “caixinha” em esféricas tem dimensões aproximadas dr, r\,d\varphi e r\sin\varphi\,d\theta; multiplicando dá r^{2}\sin\varphi\,dr\,d\varphi\,d\theta.

Passo 4

Expressar o integrando em esféricas: note que
x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2},
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\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{2}=r^{4}.
Multiplicando pelo elemento de volume, o integrando total vira r^{4}\cdot r^{2}\sin\varphi = r^{6}\sin\varphi.

Passo 5

Montando a integral em esféricas com os limites:
\iiint_{B}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{2}\,dV = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{4} r^{6}\sin\varphi\,dr\,d\varphi\,d\theta.
Como a expressão se separa em função de r vezes função de \varphi vezes função de \theta, podemos separar os integrais.

Passo 6

Calcular a integral radial:
\int_{0}^{4} r^{6}\,dr = \left.\frac{r^{7}}{7}\right|_{0}^{4} = \frac{4^{7}}{7}.
Calculemos 4^{7}: 4^{2}=16, 4^{3}=64, 4^{4}=256, 4^{5}=1024, 4^{6}=4096, 4^{7}=16384. Portanto
\int_{0}^{4} r^{6}\,dr = \frac{16384}{7}.

Passo 7

Calcular as integrais angulares:
\int_{0}^{\pi}\sin\varphi\,d\varphi = \left.-\cos\varphi\right|_{0}^{\pi} = -\cos\pi -(-\cos 0) = -(-1)-(-1)=2.
e
\int_{0}^{2\pi} d\theta = 2\pi.

Passo 8

Multiplicando os três resultados (radial e os dois angulares) obtemos:
\iiint_{B}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{2}\,dV = \frac{16384}{7}\cdot 2\cdot 2\pi = \frac{16384\cdot 4\pi}{7} = \frac{65536\pi}{7}.
Observação útil para a prova: para uma bola de raio R o mesmo cálculo dá, em geral,
\iiint_{r\le R} \left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{2}\,dV = \frac{4\pi R^{7}}{7},
e aqui com R=4 \frac{4\pi\cdot 4^{7}}{7}=\frac{65536\pi}{7}.

Resposta

\displaystyle \frac{65536\pi}{7}

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