\int_{0}^{1} \int_{x}^{3 x} \int_{0}^{y} 2 x y z d z d y d x
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral iterada
\int_{0}^{1} \int_{x}^{3 x} \int_{0}^{y} 2 x y z \, d z \, d y \, d x.
Informações dadas:
A integranda é \,2 x y z\,.
Os limites de integração são: \,x varia de 0 a 1; \,y varia de x a 3x; \,z varia de 0 a y.
Devemos calcular a integral tripla efetuando as integrações na ordem indicada: primeiro em z, depois em y e por fim em x.
Objetivo final: obter um número real que seja o valor dessa integral.
Passo 2
Conceitos e regras que vamos usar (explicação didática):
Quando integramos em relação a uma variável, as outras são tratadas como constantes. Por exemplo, ao integrar em z uma expressão que contém x e y, podemos puxar fatores que dependem só de x e y para fora da integral em z.
Regra do fator constante: se a é constante em relação a t, então \displaystyle \int a\, f(t)\, dt = a \int f(t)\, dt.
Regra da potência (antiderivada): \displaystyle \int t^n\, dt = \frac{t^{n+1}}{n+1} + C para n\neq -1. Exemplo simples: \displaystyle \int z\, dz = \frac{z^{2}}{2}.
Vamos aplicar isso passo a passo nas integrais internas.
Passo 3
Integração em z (integral mais interna). Aqui x e y são constantes em relação a z. Escrevemos
\int_{0}^{y} 2 x y z \, d z.
Puxamos 2xy para fora:
2 x y \int_{0}^{y} z \, d z.
Usando a regra da potência para z^1:
\int_{0}^{y} z \, d z = \left.\frac{z^{2}}{2}\right|_{0}^{y} = \frac{y^{2}}{2}.
Multiplicando de volta por 2xy:
2 x y \cdot \frac{y^{2}}{2} = x y^{3}.
Portanto a integral em z resultou em x y^{3}. Agora a integral original reduz-se a
\int_{0}^{1} \int_{x}^{3x} x y^{3} \, d y \, d x.
Passo 4
Integração em y (segunda integral). Aqui x é constante em relação a y. Calculamos
\int_{x}^{3x} x y^{3} \, d y = x \int_{x}^{3x} y^{3} \, d y.