Questão 1 Calcule a integral iterada
\int_{0}^{1} \int_{x}^{3 x} \int_{0}^{y} 2 x y z d z d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada
\int_{0}^{1} \int_{x}^{3 x} \int_{0}^{y} 2 x y z \, d z \, d y \, d x.
Informações dadas:
  • A integranda é \,2 x y z\,.
  • Os limites de integração são:
    \,x varia de 0 a 1;
    \,y varia de x a 3x;
    \,z varia de 0 a y.
  • Devemos calcular a integral tripla efetuando as integrações na ordem indicada: primeiro em z, depois em y e por fim em x.
  • Objetivo final: obter um número real que seja o valor dessa integral.

Passo 2

Conceitos e regras que vamos usar (explicação didática):
  • Quando integramos em relação a uma variável, as outras são tratadas como constantes. Por exemplo, ao integrar em z uma expressão que contém x e y, podemos puxar fatores que dependem só de x e y para fora da integral em z.
  • Regra do fator constante: se a é constante em relação a t, então \displaystyle \int a\, f(t)\, dt = a \int f(t)\, dt.
  • Regra da potência (antiderivada): \displaystyle \int t^n\, dt = \frac{t^{n+1}}{n+1} + C para n\neq -1. Exemplo simples: \displaystyle \int z\, dz = \frac{z^{2}}{2}.
    Vamos aplicar isso passo a passo nas integrais internas.

Passo 3

Integração em z (integral mais interna). Aqui x e y são constantes em relação a z. Escrevemos
\int_{0}^{y} 2 x y z \, d z.
Puxamos 2xy para fora:
2 x y \int_{0}^{y} z \, d z.
Usando a regra da potência para z^1:
\int_{0}^{y} z \, d z = \left.\frac{z^{2}}{2}\right|_{0}^{y} = \frac{y^{2}}{2}.
Multiplicando de volta por 2xy:
2 x y \cdot \frac{y^{2}}{2} = x y^{3}.
Portanto a integral em z resultou em x y^{3}. Agora a integral original reduz-se a
\int_{0}^{1} \int_{x}^{3x} x y^{3} \, d y \, d x.

Passo 4

Integração em y (segunda integral). Aqui x é constante em relação a y. Calculamos
\int_{x}^{3x} x y^{3} \, d y = x \int_{x}^{3x} y^{3} \, d y.
Aplicando a regra da potência:
\int y^{3} \, d y = \frac{y^{4}}{4}.
Avaliaremos de y=x até y=3x:
x\left.\frac{y^{4}}{4}\right|_{y=x}^{y=3x} = x\cdot\frac{(3x)^{4}-x^{4}}{4}.
Calculemos (3x)^{4}=3^{4}x^{4}=81x^{4}. Portanto
x\cdot\frac{81x^{4}-x^{4}}{4} = x\cdot\frac{80x^{4}}{4}.
Simplificando \dfrac{80}{4}=20, obtemos
x\cdot 20 x^{4} = 20 x^{5}.
Assim a integral dupla reduz-se a uma integral em x apenas:
\int_{0}^{1} 20 x^{5} \, d x.

Passo 5

Integração em x (integral final). Usamos novamente a regra da potência:
\int x^{5} \, d x = \frac{x^{6}}{6}.
Portanto
\int_{0}^{1} 20 x^{5} \, d x = 20 \left.\frac{x^{6}}{6}\right|_{0}^{1} = 20\cdot\frac{1^{6}-0^{6}}{6} = \frac{20}{6}.
Simplificando a fração \dfrac{20}{6}=\dfrac{10}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{10}{3}

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