Questão 4 Calcule
\iiint_{B}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{3} d V
onde B é a bola com centro na origem e raio 4 .

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
\iiint_{B}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{3}\,dV
onde B é a bola com centro na origem e raio 4. Informações dadas e objetivos claros:
  • A região B é \{(x,y,z)\mid x^{2}+y^{2}+z^{2}\le 16\}.
  • A integranda é \left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{3}.
  • Queremos o valor numérico da integral tripla sobre toda a bola.

Passo 2

Por que usar coordenadas esféricas? Aqui a integranda depende apenas de x^{2}+y^{2}+z^{2}, que é a distância ao quadrado até a origem. Em coordenadas esféricas essa quantidade fica muito simples — depende só de r — e a região B também tem uma descrição simples (apenas 0\le r\le 4). Vou explicar coordenadas esféricas de forma didática:
Definições (convenção padrão):
\begin{aligned} x &= r\sin\varphi\cos\theta,\\\ y &= r\sin\varphi\sin\theta,\\\ z &= r\cos\varphi, \end{aligned}
onde
r\ge 0,\quad 0\le \varphi\le \pi,\quad 0\le \theta\le 2\pi.
  • r é a distância ao origem (raio).
  • \varphi é o ângulo polar medido a partir do eixo z (ângulo “vertical”).
  • \theta é o ângulo azimutal no plano xy (ângulo “horizontal”).
Elemento de volume em esféricas: o diferencial de volume é
dV = r^{2}\sin\varphi\,dr\,d\varphi\,d\theta.
Esse fator r^{2}\sin\varphi vem do jacobiano da mudança de coordenadas; geometricamente ele representa a área de uma pequena “fatia” esférica multiplicada por dr.

Passo 3

Transformando a integranda e o diferencial:
  • Note que
x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}.
  • Então a integranda \left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{3} vira r^{6}.
  • Multiplicando pelo dV em esféricas obtemos o integrando total
r^{6}\cdot r^{2}\sin\varphi = r^{8}\sin\varphi.
Agora a integral sobre B em esféricas tem limites simples:
0\le r\le 4,\quad 0\le \varphi\le \pi,\quad 0\le \theta\le 2\pi.
Portanto a integral separa-se naturalmente:
\iiint_{B}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{3}\,dV = \int_{0}^{2\pi}\!\!\int_{0}^{\pi}\!\!\int_{0}^{4} r^{8}\sin\varphi\,dr\,d\varphi\,d\theta.

Passo 4

Como o integrando é produto de funções que dependem de variáveis distintas, podemos separar:
\int_{0}^{2\pi} d\theta \cdot \int_{0}^{\pi} \sin\varphi\,d\varphi \cdot \int_{0}^{4} r^{8}\,dr.
Calcule as integrais angulares primeiro:
  1. Integral em \theta:
\int_{0}^{2\pi} d\theta = 2\pi.
  1. Integral em \varphi:
\int_{0}^{\pi} \sin\varphi\,d\varphi = \bigl[-\cos\varphi\bigr]_{0}^{\pi} = -\cos\pi -(-\cos 0)= -(-1)+1 = 2.
Multiplicando as duas dá a parte angular:
2\pi \cdot 2 = 4\pi.

Passo 5

Agora a integral radial:
\int_{0}^{4} r^{8}\,dr = \left[\frac{r^{9}}{9}\right]_{0}^{4} = \frac{4^{9}}{9}.
Calcule 4^{9}: lembrando 4=2^{2} então 4^{9}=(2^{2})^{9}=2^{18}. Num valor decimal,
4^{9}=262144.
Logo a integral radial é
\frac{262144}{9}.

Passo 6

Multiplicando a parte angular 4\pi pela radial \dfrac{262144}{9} obtemos o valor da integral:
4\pi\cdot \frac{262144}{9}=\frac{1048576\pi}{9}.
Também podemos escrever em potências de 2:
1048576 = 2^{20},
então uma forma alternativa é \dfrac{2^{20}\pi}{9}.

Resposta

\displaystyle \frac{1048576\pi}{9}

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