Questão 4 Calcule
onde
é a bola com centro na origem e raio 4 .
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral tripla
onde
é a bola com centro na origem e raio
. Informações dadas e objetivos claros:
- A região
é . - A integranda é
. - Queremos o valor numérico da integral tripla sobre toda a bola.
Passo 2
Por que usar coordenadas esféricas? Aqui a integranda depende apenas de
, que é a distância ao quadrado até a origem. Em coordenadas esféricas essa quantidade fica muito simples — depende só de
— e a região
também tem uma descrição simples (apenas
). Vou explicar coordenadas esféricas de forma didática:
Definições (convenção padrão):
onde
-
é a distância ao origem (raio). -
é o ângulo polar medido a partir do eixo (ângulo “vertical”). -
é o ângulo azimutal no plano (ângulo “horizontal”).
Elemento de volume em esféricas: o diferencial de volume é
Esse fator
vem do jacobiano da mudança de coordenadas; geometricamente ele representa a área de uma pequena “fatia” esférica multiplicada por
.
Passo 3
Transformando a integranda e o diferencial:
- Note que
- Então a integranda
vira . - Multiplicando pelo
em esféricas obtemos o integrando total
Agora a integral sobre
em esféricas tem limites simples:
Portanto a integral separa-se naturalmente:
Passo 4
Como o integrando é produto de funções que dependem de variáveis distintas, podemos separar:
Calcule as integrais angulares primeiro:
- Integral em
:
- Integral em
:
Multiplicando as duas dá a parte angular:
Passo 5
Agora a integral radial:
Calcule
: lembrando
então
. Num valor decimal,
Logo a integral radial é
Passo 6
Multiplicando a parte angular
pela radial
obtemos o valor da integral:
Também podemos escrever em potências de
:
então uma forma alternativa é
.