Questão 3 Calcule
onde
é a região que está dentro do cilindro
, e entre os planos
e
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral tripla
onde a região
é definida pelas condições:
- está dentro do cilindro
(ou seja, a projeção no plano é o disco de raio ); - está entre os planos
e .
Informações relevantes dadas:
Passo 2
Por que trocar de coordenadas? Aqui é útil perceber duas coisas (já só para me orientar, sem resolver ainda): a função
depende apenas da distância ao eixo
, e a região no plano
é um disco circular. Esses dois sinais são exatamente o que me faz pensar em coordenadas cilíndricas
, porque elas tornam a geometria e a função muito simples.
Definição das coordenadas cilíndricas (expliquei o que cada variável significa):
onde
é a distância do ponto ao eixo
, e
é o ângulo no plano
. Essas mudanças são só uma reescrita das coordenadas cartesianas.
Passo 3
Jacobiano / volume elementar: ao mudar para coordenadas cilíndricas, o elemento de volume
vira
Explicando: esse fator
aparece porque, ao transformar um pequeno retângulo em
para o plano
, a largura em
equivale a
; portanto o diferencial de área é
, e incluindo
dá o diferencial de volume.
Também substituímos a função integrando:
Então, dentro da integral,
se transforma em
.
Passo 4
Agora determinamos os limites de integração na ordem
:
-
varia do centro do disco até a borda: (pois o cilindro tem raio ); -
percorre todo o círculo: ; -
está entre os planos dados: .
Montando a integral tripla em coordenadas cilíndricas:
Passo 5
Vamos calcular a integral interna em
. Lembre que a primitiva de
em relação a
é
. Logo,
Passo 6
Com o resultado da integral em
temos agora
A integral em
é simples: integrar a constante
de
até
dá
vezes a largura do intervalo em
, que é
. Assim
Passo 7
Finalmente integramos em
. A integral de
sobre
é
vezes
. Escrevendo o produto obtido até aqui (sem simplificar por enquanto):