Questão 3 Calcule
\iiint_{E} \sqrt{x^{2}+y^{2}} d V
onde E é a região que está dentro do cilindro x^{2}+y^{2}=9, e entre os planos z=-3 e z=1.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
\iiint_{E} \sqrt{x^{2}+y^{2}}\, dV
onde a região E é definida pelas condições:
  • está dentro do cilindro \,x^{2}+y^{2}=9 (ou seja, a projeção no plano xy é o disco de raio 3);
  • está entre os planos z=-3 e z=1.
Informações relevantes dadas:
\text{integrando: }\sqrt{x^{2}+y^{2}},\qquad \text{base no plano }xy:\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le 9\},\qquad \text{altura em }z:\,-3\le z\le 1.

Passo 2

Por que trocar de coordenadas? Aqui é útil perceber duas coisas (já só para me orientar, sem resolver ainda): a função \sqrt{x^{2}+y^{2}} depende apenas da distância ao eixo z, e a região no plano xy é um disco circular. Esses dois sinais são exatamente o que me faz pensar em coordenadas cilíndricas (r,\theta,z), porque elas tornam a geometria e a função muito simples.
Definição das coordenadas cilíndricas (expliquei o que cada variável significa):
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,\qquad z = z,
onde r\ge 0 é a distância do ponto ao eixo z, e \theta é o ângulo no plano xy. Essas mudanças são só uma reescrita das coordenadas cartesianas.

Passo 3

Jacobiano / volume elementar: ao mudar para coordenadas cilíndricas, o elemento de volume dV vira
dV = r\,dr\,d\theta\,dz.
Explicando: esse fator r aparece porque, ao transformar um pequeno retângulo em (r,\theta) para o plano xy, a largura em \theta equivale a r\,d\theta; portanto o diferencial de área é r\,dr\,d\theta, e incluindo dz dá o diferencial de volume.
Também substituímos a função integrando:
\sqrt{x^{2}+y^{2}} = r.
Então, dentro da integral, \sqrt{x^{2}+y^{2}}\,dV se transforma em r \cdot (r\,dr\,d\theta\,dz)=r^{2}\,dr\,d\theta\,dz.

Passo 4

Agora determinamos os limites de integração na ordem (r,\theta,z):
  • r varia do centro do disco até a borda: 0\le r\le 3 (pois o cilindro tem raio 3);
  • \theta percorre todo o círculo: 0\le \theta\le 2\pi;
  • z está entre os planos dados: -3\le z\le 1.
Montando a integral tripla em coordenadas cilíndricas:
\iiint_{E} \sqrt{x^{2}+y^{2}}\,dV = \int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{z=-3}^{1}\int_{r=0}^{3} r^{2}\,dr\,dz\,d\theta.

Passo 5

Vamos calcular a integral interna em r. Lembre que a primitiva de r^{2} em relação a r é \tfrac{r^{3}}{3}. Logo,
\int_{r=0}^{3} r^{2}\,dr = \left[\frac{r^{3}}{3}\right]_{0}^{3} = \frac{3^{3}}{3}-0 = \frac{27}{3}=9.

Passo 6

Com o resultado da integral em r temos agora
\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{z=-3}^{1} 9\,dz\,d\theta.
A integral em z é simples: integrar a constante 9 de -3 até 1 9 vezes a largura do intervalo em z, que é 1-(-3)=4. Assim
\int_{z=-3}^{1} 9\,dz = 9\cdot 4 = 36.

Passo 7

Finalmente integramos em \theta. A integral de 36 sobre 0\le\theta\le2\pi é 36 vezes 2\pi. Escrevendo o produto obtido até aqui (sem simplificar por enquanto):
\iiint_{E} \sqrt{x^{2}+y^{2}}\,dV = 9 \times 4 \times 2\pi.

Resposta

\;72\pi

Exercícios relacionados