Sabendo-se que f(x, y)=\sqrt{y^{2}-x^{2}+3}, determine:
O domínio da função e esboce-o;
y^{2}-x^{2}+3 \geq 0 \Leftrightarrow y^{2}-x^{2} \geq-3 \Leftrightarrow x^{2}-y^{2} \leq 3

Passo 1

O enunciado pede que eu determine o domínio de f e esboce esse domínio, sabendo que
f(x,y)=\sqrt{y^{2}-x^{2}+3}.
As informações relevantes dadas são:
y^{2}-x^{2}+3 \ge 0,
e a equivalência já escrita
y^{2}-x^{2}+3 \ge 0 \Leftrightarrow x^{2}-y^{2} \le 3.
Nada mais é fornecido; o objetivo é achar o conjunto de todos os pares (x,y)\in\mathbb{R}^{2} que satisfazem essa desigualdade e indicar como esboçar esse conjunto no plano.

Passo 2

Regra básica: porque temos uma raiz quadrada \sqrt{\cdot}, o radicando deve ser não negativo. Ou seja, defino o radicando
R(x,y)=y^{2}-x^{2}+3,
e o domínio D é o conjunto de todos (x,y) tais que
R(x,y)\ge 0.
Isto significa que meu trabalho é resolver a desigualdade
y^{2}-x^{2}+3 \ge 0,
em (x,y)-planos e descrever o conjunto obtido.

Passo 3

Reescrevo a desigualdade de forma conveniente:
y^{2}-x^{2}+3 \ge 0 \quad\Longleftrightarrow\quad y^{2} \ge x^{2}-3.
Também é equivalente, como já citado,
x^{2}-y^{2} \le 3.
A fronteira da região (onde a raiz é zero) é dada pela curva
x^{2}-y^{2}=3,
que é uma hipérbole. Vou usar isso para interpretar geometricamente o domínio.

Passo 4

Para entender a forma do domínio é útil escrever a condição isolando y. A partir de
y^{2} \ge x^{2}-3,
temos dois casos conforme o sinal de x^{2}-3.
Caso A: se x^{2}-3 \le 0, isto é, se |x|\le \sqrt{3}, então x^{2}-3\le 0 e como y^{2}\ge 0 sempre, a desigualdade y^{2}\ge x^{2}-3 é automaticamente satisfeita para qualquer y. Logo, para todo x com |x|\le \sqrt{3} todos os y\in\mathbb{R} pertencem ao domínio.
Caso B: se x^{2}-3>0, isto é, se |x|>\sqrt{3}, então posso tomar raiz positiva em ambos os lados (já que o lado direito é positivo) e obter
|y| \ge \sqrt{x^{2}-3}.
Isto significa que, para |x|>\sqrt{3}, são permitidos somente os y com magnitude maior ou igual a \sqrt{x^{2}-3}; ou seja, para cada tal x temos y\le -\sqrt{x^{2}-3} ou y\ge \sqrt{x^{2}-3}.

Passo 5

Interpretação geométrica e descrição do conjunto:
  • A curva de fronteira x^{2}-y^{2}=3 é uma hipérbole com dois ramos simétricos em relação à origem, que intercepta o eixo x nos pontos (\pm\sqrt{3},0). As assíntotas são y=\pm x.
  • Pelo Caso A, a faixa vertical |x|\le \sqrt{3} está inteiramente dentro do domínio (toda a coluna vertical de y é permitida).
  • Pelo Caso B, para |x|>\sqrt{3} o domínio consiste das regiões acima do ramo superior da hipérbole e abaixo do ramo inferior da hipérbole; o interior entre os dois ramos (próximo ao eixo x para |x|>\sqrt{3}) fica excluído.
  • Em termos intuitivos: o domínio é o conjunto fechado e não limitado que consiste na faixa vertical central (onde qualquer y vale) mais as “caudas” para cima e para baixo além da hipérbole.

Passo 6

Como fazer o esboço (passo a passo prático para a prova):
  1. Desenhe os eixos x e y.
  2. Marque \pm\sqrt{3} no eixo x (são os pontos (\pm\sqrt{3},0)).
  3. Desenhe a hipérbole x^{2}-y^{2}=3 (ramos para a direita e esquerda passando por (\pm\sqrt{3},0)); as assíntotas são y=\pm x.
  4. Sombreie a região que satisfaz x^{2}-y^{2}\le 3: isto inclui todo o interior da faixa vertical |x|\le\sqrt{3} (sombreado inteiro) e, para |x|>\sqrt{3}, somente as partes acima do ramo superior e abaixo do ramo inferior (sombreie fora do “corredor” perto do eixo x que fica entre os ramos).
  5. Verifique com pontos: (0,0) pertence (radicando =3\ge0), já (2,0) não pertence (pois 2^{2}-0^{2}=4>3), e (2,2) pertence (pois 2^{2}-2^{2}=0\le3). Esses testes ajudam a confirmar o sombreado.

Passo 7

Escrevo o domínio de forma limpa em notação de conjunto e em forma “peças” para usar rápido na prova:
Notação de conjunto:
D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid y^{2}-x^{2}+3\ge 0\}=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x^{2}-y^{2}\le 3\}.
Descrição em peças (útil para esboço):
\text{Se }|x|\le \sqrt{3}\text{, então qualquer }y\in\mathbb{R}\text{ é permitido;}ãé
\text{Se }|x|>\sqrt{3}\text{, então }|y|\ge \sqrt{x^{2}-3}.ã

Resposta

D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid y^{2}-x^{2}+3\ge 0\}=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x^{2}-y^{2}\le 3\}
Se |x|\le \sqrt{3} então todo y\in\mathbb{R} pertence a D; se |x|>\sqrt{3} então D exige |y|\ge \sqrt{x^{2}-3}.

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