Sabendo-se que
, determine:
O domínio da função e esboce-o;
O domínio da função e esboce-o;
Passo 1
O enunciado pede que eu determine o domínio de
e esboce esse domínio, sabendo que
As informações relevantes dadas são:
e a equivalência já escrita
Nada mais é fornecido; o objetivo é achar o conjunto de todos os pares
que satisfazem essa desigualdade e indicar como esboçar esse conjunto no plano.
Passo 2
Regra básica: porque temos uma raiz quadrada
, o radicando deve ser não negativo. Ou seja, defino o radicando
e o domínio
é o conjunto de todos
tais que
Isto significa que meu trabalho é resolver a desigualdade
em
-planos e descrever o conjunto obtido.
Passo 3
Reescrevo a desigualdade de forma conveniente:
Também é equivalente, como já citado,
A fronteira da região (onde a raiz é zero) é dada pela curva
que é uma hipérbole. Vou usar isso para interpretar geometricamente o domínio.
Passo 4
Para entender a forma do domínio é útil escrever a condição isolando
. A partir de
temos dois casos conforme o sinal de
.
Caso A: se
, isto é, se
, então
e como
sempre, a desigualdade
é automaticamente satisfeita para qualquer
. Logo, para todo
com
todos os
pertencem ao domínio.
Caso B: se
, isto é, se
, então posso tomar raiz positiva em ambos os lados (já que o lado direito é positivo) e obter
Isto significa que, para
, são permitidos somente os
com magnitude maior ou igual a
; ou seja, para cada tal
temos
ou
.
Passo 5
Interpretação geométrica e descrição do conjunto:
- A curva de fronteira
é uma hipérbole com dois ramos simétricos em relação à origem, que intercepta o eixo nos pontos . As assíntotas são . - Pelo Caso A, a faixa vertical
está inteiramente dentro do domínio (toda a coluna vertical de é permitida). - Pelo Caso B, para
o domínio consiste das regiões acima do ramo superior da hipérbole e abaixo do ramo inferior da hipérbole; o interior entre os dois ramos (próximo ao eixo para ) fica excluído. - Em termos intuitivos: o domínio é o conjunto fechado e não limitado que consiste na faixa vertical central (onde qualquer
vale) mais as “caudas” para cima e para baixo além da hipérbole.
Passo 6
Como fazer o esboço (passo a passo prático para a prova):
- Desenhe os eixos
e . - Marque
no eixo (são os pontos ). - Desenhe a hipérbole
(ramos para a direita e esquerda passando por ); as assíntotas são . - Sombreie a região que satisfaz
: isto inclui todo o interior da faixa vertical (sombreado inteiro) e, para , somente as partes acima do ramo superior e abaixo do ramo inferior (sombreie fora do “corredor” perto do eixo que fica entre os ramos). - Verifique com pontos:
pertence (radicando ), já não pertence (pois ), e pertence (pois ). Esses testes ajudam a confirmar o sombreado.
Passo 7
Escrevo o domínio de forma limpa em notação de conjunto e em forma “peças” para usar rápido na prova:
Notação de conjunto:
Descrição em peças (útil para esboço):
Resposta
Se
então todo
pertence a
; se
então
exige
.