Questão 1. Calcule \iint_{\sigma} \operatorname{rot} \vec{F} \cdot \vec{n} d S, em que:
\vec{F}(x, y, z)=z x \vec{i}+x^{2} y \vec{j}+\frac{y^{2}}{2} \vec{k}, \sigma é uma parte do cilindro x^{2}+y^{2}=1, com -1 \leq z \leq 1, x \geq 0 e y \geq 0, sendo \vec{n} a normal com componente x \geq 0.

Passo 1

O enunciado pede calcular \displaystyle \iint_{\Sigma}\operatorname{rot}\vec{F}\cdot\vec{n}\,dS,
onde \vec{F}(x,y,z)=zx\,\mathbf{i}+x^{2}y\,\mathbf{j}+\tfrac{y^{2}}{2}\,\mathbf{k}
e \Sigma é a parte do cilindro x^{2}+y^{2}=1 com -1\le z\le1 e x,y\ge0.
Vamos usar parametrização cilíndrica para a superfície e o vetor normal radial para calcular o fluxo de \operatorname{rot}\vec{F}.

Passo 2

Calcular \operatorname{rot}\vec{F}. Para \vec{F}=(P,Q,R) com P=zx, Q=x^{2}y, R=\tfrac{y^{2}}{2}, temos
\operatorname{rot}\vec{F} =\Bigl(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z},\; \frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x},\; \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Bigr) =(y,\;x,\;2xy).

Passo 3

Parametrizamos \Sigma por
\vec{r}(t,z)=(\cos t,\sin t,z), \quad t\in[0,\tfrac{\pi}{2}],\;z\in[-1,1].
O vetor normal unitário (com componente x\ge0) é \vec{n}=(\cos t,\sin t,0)
e o elemento de área é dS=dz\,dt.

Passo 4

No ponto \vec{r}(t,z) temos x=\cos t, y=\sin t, logo
\operatorname{rot}\vec{F}\bigl(\vec{r}(t,z)\bigr)\cdot\vec{n} =(\sin t,\cos t,2\cos t\sin t)\cdot(\cos t,\sin t,0) =2\sin t\cos t =\sin2t.
Portanto
\iint_{\Sigma}\operatorname{rot}\vec{F}\cdot\vec{n}\,dS =\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\!\int_{-1}^{1}\sin2t\,dz\,dt =\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}2\sin2t\,dt =2.

Resposta

2

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