Questão 1. Calcule
, em que:
é uma parte da esfera
, com
, sendo
a normal apontando para fora da esfera.
Passo 1
O enunciado pede para calcular
onde
e
é a parte da esfera
com
, usando a normal externa.
O conteúdo principal aqui é o Teorema de Stokes, que diz:
O conteúdo principal aqui é o Teorema de Stokes, que diz:
Passo 2
Identificamos a curva de contorno
. É a interseção da esfera
com o plano
.
Nessa curva vale
Nessa curva vale
e
, ou seja, um círculo de raio
em
.
Passo 3
Definimos a orientação de
segundo a regra da mão direita: a normal externa da esfera aponta “para fora” (com componente positiva em
nesse círculo), então, vista de cima ao longo dessa normal, a orientação da curva é anti-horária.
Passo 4
Parametrizamos
por
Então
Passo 5
No contorno,
Logo
Portanto