Questão 1. Calcule \iint_{\sigma} \operatorname{rot} \vec{F} \cdot \vec{n} d S, em que:
\vec{F}(x, y, z)=-y \vec{i}+x \vec{j}+x y z \vec{k}, \sigma é uma parte da esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=4, com z \leq \sqrt{3}, sendo \vec{n} a normal apontando para fora da esfera.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\iint_{\sigma}\operatorname{rot}\vec{F}\cdot\vec{n}\,dS
onde \vec{F}(x,y,z) = -y\,\vec{i} + x\,\vec{j} + xyz\,\vec{k} e \sigma é a parte da esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=4 com z\le\sqrt{3}, usando a normal externa.
O conteúdo principal aqui é o Teorema de Stokes, que diz:
\iint_{\sigma}\operatorname{rot}\vec{F}\cdot\vec{n}\,dS \;=\;\oint_{\partial\sigma}\vec{F}\cdot d\vec{r}.

Passo 2

Identificamos a curva de contorno \partial\sigma. É a interseção da esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=4 com o plano z=\sqrt{3}.
Nessa curva vale
x^{2}+y^{2}=4 - (\sqrt{3})^{2} =1
e z=\sqrt{3}, ou seja, um círculo de raio 1 em z=\sqrt{3}.

Passo 3

Definimos a orientação de \partial\sigma segundo a regra da mão direita: a normal externa da esfera aponta “para fora” (com componente positiva em z nesse círculo), então, vista de cima ao longo dessa normal, a orientação da curva é anti-horária.

Passo 4

Parametrizamos \partial\sigma por
\begin{cases} x(t) = \cos t,\\\ y(t) = \sin t,\\\ z(t) = \sqrt{3}, \end{cases} \quad 0\le t\le 2\pi.
Então
d\vec{r} = \bigl(x'(t),y'(t),z'(t)\bigr)\,dt = \bigl(-\sin t,\cos t,0\bigr)\,dt.

Passo 5

No contorno,
\vec{F}(x(t),y(t),z(t)) = \bigl(-\sin t,\;\cos t,\;\cos t\;\sin t\;\sqrt{3}\bigr).
Logo
\vec{F}\cdot d\vec{r} = \bigl(-\sin t\bigr)(- \sin t)\,dt + \bigl(\cos t\bigr)(\cos t)\,dt + \bigl(\cos t\,\sin t\,\sqrt{3}\bigr)\cdot 0 \,dt = (\sin^{2}t + \cos^{2}t)\,dt =1\,dt.
Portanto
\oint_{\partial\sigma}\vec{F}\cdot d\vec{r} = \int_{0}^{2\pi}1\,dt =2\pi.

Resposta

\iint_{\sigma}\operatorname{rot}\vec{F}\cdot\vec{n}\,dS = 2\pi.

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