em que S é a superfície delimitada pelo triângulo de vértices (0,0,2),(1,0,1) e (1,1,1).
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral superficial
\iint_{S}(z-3x-4y)\,dS
onde S é a superfície plana limitada pelo triângulo de vértices (0,0,2), (1,0,1) e (1,1,1).
Informações dadas:
Vértices do triângulo em \mathbb{R}^3: (0,0,2), (1,0,1), (1,1,1).
A função a integrar sobre a superfície é g(x,y,z)=z-3x-4y.
A superfície S é a face triangular determinada por esses três pontos.
O objetivo é transformar essa integral de superfície numa integral dupla sobre uma região no plano xy (ou outra parametrização conveniente) e calcular o valor numérico.
Passo 2
Primeiro vamos achar a equação do plano que contém os três vértices. Para isso formam-se dois vetores diretores do plano usando os pontos:
Usando a forma normal do plano, com ponto (0,0,2), temos:
\vec{n}\cdot\bigl((x,y,z)-(0,0,2)\bigr)=0
ou seja
1\cdot x + 0\cdot y + 1\cdot(z-2)=0 \quad\Rightarrow\quad x+z-2=0.
Portanto a equação do plano é
z=2-x.
Observação útil: o plano não depende de y, isto é, z é função linear simples de x apenas.
Passo 4
Agora percebemos que S é o gráfico da função
f(x,y)=2-x
sobre a região D do plano xy que é a projeção do triângulo. Projetando os três vértices sobre o plano xy (ou seja, eliminando a coordenada z), obtemos os pontos
(0,0),\quad (1,0),\quad (1,1).
Logo D é o triângulo no plano xy com vértices (0,0),(1,0),(1,1).
Passo 5
Usaremos a fórmula padrão para integral de uma função escalar g(x,y,z) sobre a superfície que é gráfico z=f(x,y):
Explicação didática curta: a parametrização natural é \mathbf{r}(x,y)=(x,y,f(x,y)). Os vetores tangentes são \mathbf{r}_x=(1,0,f_x) e \mathbf{r}_y=(0,1,f_y). O elemento de área dS é |\mathbf{r}_x\times\mathbf{r}_y|\,dA, e esse módulo dá \sqrt{1+f_x^2+f_y^2}\,dA. Aqui f_x é a derivada parcial de f em relação a x e f_y a derivada parcial em relação a y.