Questão 1: Calcule os imites:
\lim _{x \rightarrow 3} \frac{\operatorname{sen}\left(x^{2}\right)}{(x-3)(x+7)}

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{x\to 3} \frac{\operatorname{sen}\left(x^{2}\right)}{(x-3)(x+7)}.
Informações dadas e observações iniciais:
  • A expressão é \dfrac{\operatorname{sen}\left(x^{2}\right)}{(x-3)(x+7)}.
  • Em x=3 o numerador vale \operatorname{sen}(3^{2})=\operatorname{sen}(9).
  • Em x=3 o denominador vale (3-3)(3+7)=0, ou seja, o denominador tende a 0 quando x\to 3.
  • Precisamos decidir se o limite bilateral existe e, se não, determinar os limites laterais.

Passo 2

Avaliar o numerador quando x\to 3.
\operatorname{sen}\left(3^{2}\right)=\operatorname{sen}(9).
Para saber o sinal de \operatorname{sen}(9) comparo 9 com múltiplos de \pi:
2\pi \approx 6{,}283185,\qquad 3\pi \approx 9{,}424777.
Logo 2\pi < 9 < 3\pi. Escrevendo 9 = 2\pi + t temos
t = 9-2\pi \approx 2{,}7168,
e t\in(0,\pi). Assim
\operatorname{sen}(9)=\operatorname{sen}(t)
com t\in(0,\pi), o que implica \operatorname{sen}(9)>0. (Numericamente \operatorname{sen}(9)\approx 0{,}41, mas só precisamos do sinal.)

Passo 3

Usar um princípio básico de limites: se o numerador tende a um número finito não nulo e o denominador tende a zero, então o valor absoluto da fração tende a +\infty. O sinal do limite infinito é dado pelo sinal do numerador multiplicado pelo sinal do denominador na aproximação ao ponto.
No nosso caso o numerador tende a uma constante positiva ( \operatorname{sen}(9)>0). Então o comportamento do quociente quando x\to 3 depende apenas do sinal de (x-3)(x+7) próximo de x=3.

Passo 4

Analisar o fator (x+7) perto de x=3:
x+7 \big|_{x\approx 3} \approx 10>0.
Portanto (x+7) permanece positivo nas duas direções ao aproximar de 3.

Passo 5

Analisar o fator (x-3) nas duas direções:
  • Para x\to 3^{-} (pela esquerda) temos x-3<0 e pequena magnitude (tende a 0^{-}).
  • Para x\to 3^{+} (pela direita) temos x-3>0 e pequena magnitude (tende a 0^{+}).
Multiplicando por (x+7)>0, o sinal do denominador é igual ao sinal de (x-3).

Passo 6

Determinar os limites laterais usando o sinal do numerador ( >0) e do denominador:
  • Quando x\to 3^{-}: denominador (x-3)(x+7) é negativo e tende a 0^{-}. Assim a fração tende a -\infty.
  • Quando x\to 3^{+}: denominador é positivo e tende a 0^{+}. Assim a fração tende a +\infty.

Passo 7

Concluir sobre o limite bilateral: como os limites laterais são diferentes ( -\infty e +\infty), o limite bilateral
\lim_{x\to 3} \frac{\operatorname{sen}\left(x^{2}\right)}{(x-3)(x+7)}
não existe (não converge para um número finito nem para um infinito único).

Resposta

\displaystyle \lim_{x\to 3^-}\frac{\operatorname{sen}\left(x^{2}\right)}{(x-3)(x+7)}=-\infty
\displaystyle \lim_{x\to 3^+}\frac{\operatorname{sen}\left(x^{2}\right)}{(x-3)(x+7)}=+\infty
\displaystyle \lim_{x\to 3}\frac{\operatorname{sen}\left(x^{2}\right)}{(x-3)(x+7)} não existe

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