Logo 2\pi < 9 < 3\pi. Escrevendo 9 = 2\pi + t temos
t = 9-2\pi \approx 2{,}7168,
e t\in(0,\pi). Assim
\operatorname{sen}(9)=\operatorname{sen}(t)
com t\in(0,\pi), o que implica \operatorname{sen}(9)>0. (Numericamente \operatorname{sen}(9)\approx 0{,}41, mas só precisamos do sinal.)
Passo 3
Usar um princípio básico de limites: se o numerador tende a um número finito não nulo e o denominador tende a zero, então o valor absoluto da fração tende a +\infty. O sinal do limite infinito é dado pelo sinal do numerador multiplicado pelo sinal do denominador na aproximação ao ponto.
No nosso caso o numerador tende a uma constante positiva (\operatorname{sen}(9)>0). Então o comportamento do quociente quando x\to 3 depende apenas do sinal de (x-3)(x+7) próximo de x=3.
Passo 4
Analisar o fator (x+7) perto de x=3:
x+7 \big|_{x\approx 3} \approx 10>0.
Portanto (x+7) permanece positivo nas duas direções ao aproximar de 3.
Passo 5
Analisar o fator (x-3) nas duas direções:
Para x\to 3^{-} (pela esquerda) temos x-3<0 e pequena magnitude (tende a 0^{-}).
Para x\to 3^{+} (pela direita) temos x-3>0 e pequena magnitude (tende a 0^{+}).
Multiplicando por (x+7)>0, o sinal do denominador é igual ao sinal de (x-3).
Passo 6
Determinar os limites laterais usando o sinal do numerador (>0) e do denominador:
Quando x\to 3^{-}: denominador (x-3)(x+7) é negativo e tende a 0^{-}. Assim a fração tende a -\infty.
Quando x\to 3^{+}: denominador é positivo e tende a 0^{+}. Assim a fração tende a +\infty.
Passo 7
Concluir sobre o limite bilateral: como os limites laterais são diferentes (-\infty e +\infty), o limite bilateral