Questão 6. Determine:
\int_{0}^{\pi / 2} \sin (x) \cos (x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{\pi/2} \sin(x)\cos(x)\,dx.
Informações relevantes dadas:
\text{limites de integração: } x=0 \text{ até } x=\frac{\pi}{2},çãé
e a função integranda é \sin(x)\cos(x).
A meta é achar o valor numérico dessa integral.

Passo 2

Escolha do método (curto comentário didático): há pelo menos duas maneiras simples de resolver essa integral sem calculadora: (A) usar a identidade de ângulo duplo \sin(2x)=2\sin(x)\cos(x), que transforma o integrando; (B) usar substituição simples u=\sin(x) (ou u=\cos(x)). Vou usar a identidade de ângulo duplo porque reduz rapidamente a integral a uma forma direta, e depois mostro a substituição como método alternativo para você ver outra forma prática na prova.

Passo 3

Usando a identidade de ângulo duplo. A identidade é
\sin(2x)=2\sin(x)\cos(x).
Isto significa que
\sin(x)\cos(x)=\frac{1}{2}\sin(2x).
Substituo na integral:
\int_{0}^{\pi/2}\sin(x)\cos(x)\,dx=\int_{0}^{\pi/2}\frac{1}{2}\sin(2x)\,dx=\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi/2}\sin(2x)\,dx.
Explicação curta sobre a transformação: multiplique e divida por 2 mentalmente; a identidade é uma fórmula trigonométrica padrão que permite trocar o produto por uma função simples de 2x.

Passo 4

Calcular a primitiva de \sin(2x). Sabemos que a derivada de \cos(2x) é -2\sin(2x). Portanto, uma primitiva de \sin(2x) é
-\frac{1}{2}\cos(2x),
porque ao derivar -\frac{1}{2}\cos(2x) obtemos (-\frac{1}{2}\cdot(-2)\sin(2x)=\sin(2x).\ ]
Assim,
\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi/2}\sin(2x)\,dx=\frac{1}{2}\left[\;-\frac{1}{2}\cos(2x)\;\right]_{0}^{\pi/2}=-\frac{1}{4}\big(\cos(2x)\big)\Big|_{0}^{\pi/2}.)

Passo 5

Avaliar a expressão nos limites. Primeiro calculo \cos(2x) nos extremos:
\cos\big(2\cdot\frac{\pi}{2}\big)=\cos(\pi)=-1,
\cos(2\cdot 0)=\cos(0)=1.
Aplicando isso em
-\frac{1}{4}\big(\cos(2x)\big)\Big|_{0}^{\pi/2}=-\frac{1}{4}\big(\cos(\pi)-\cos(0)\big)=-\frac{1}{4}\big(-1-1\big)=-\frac{1}{4}(-2)=\frac{1}{2}.
Logo pelo método da identidade o resultado é \frac{1}{2}.

Passo 6

Método alternativo (substituição) — útil para lembrar na hora da prova. Faço u=\sin(x). Então du=\cos(x)\,dx. Quando x=0 temos u=0. Quando x=\frac{\pi}{2} temos u=1. A integral fica
\int_{0}^{\pi/2}\sin(x)\cos(x)\,dx=\int_{u=0}^{u=1} u\,du.
A primitiva de u é \frac{1}{2}u^{2}, então
\int_{0}^{1}u\,du=\left[\frac{1}{2}u^{2}\right]_{0}^{1}=\frac{1}{2}\cdot 1^{2}-\frac{1}{2}\cdot 0^{2}=\frac{1}{2}.
Esse método confirma o mesmo resultado obtido antes.

Passo 7

Interpretação final e dica rápida para a prova: a integral de um produto simples \sin(x)\cos(x) é frequentemente resolvida muito rápido usando a identidade \sin(2x)=2\sin(x)\cos(x) ou a substituição u=\sin(x). Memorize essas duas manobras — elas salvam tempo.

Resposta

\dfrac{1}{2}

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