O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{\pi/2} \sin(x)\cos(x)\,dx.
Informações relevantes dadas:
\text{limites de integração: } x=0 \text{ até } x=\frac{\pi}{2},
e a função integranda é \sin(x)\cos(x).
A meta é achar o valor numérico dessa integral.
Passo 2
Escolha do método (curto comentário didático): há pelo menos duas maneiras simples de resolver essa integral sem calculadora: (A) usar a identidade de ângulo duplo \sin(2x)=2\sin(x)\cos(x), que transforma o integrando; (B) usar substituição simples u=\sin(x) (ou u=\cos(x)). Vou usar a identidade de ângulo duplo porque reduz rapidamente a integral a uma forma direta, e depois mostro a substituição como método alternativo para você ver outra forma prática na prova.
Passo 3
Usando a identidade de ângulo duplo. A identidade é
Explicação curta sobre a transformação: multiplique e divida por 2 mentalmente; a identidade é uma fórmula trigonométrica padrão que permite trocar o produto por uma função simples de 2x.
Passo 4
Calcular a primitiva de \sin(2x). Sabemos que a derivada de \cos(2x) é -2\sin(2x). Portanto, uma primitiva de \sin(2x) é
-\frac{1}{2}\cos(2x),
porque ao derivar -\frac{1}{2}\cos(2x) obtemos (-\frac{1}{2}\cdot(-2)\sin(2x)=\sin(2x).\ ]
Logo pelo método da identidade o resultado é \frac{1}{2}.
Passo 6
Método alternativo (substituição) — útil para lembrar na hora da prova. Faço u=\sin(x). Então du=\cos(x)\,dx. Quando x=0 temos u=0. Quando x=\frac{\pi}{2} temos u=1. A integral fica
Esse método confirma o mesmo resultado obtido antes.
Passo 7
Interpretação final e dica rápida para a prova: a integral de um produto simples \sin(x)\cos(x) é frequentemente resolvida muito rápido usando a identidade \sin(2x)=2\sin(x)\cos(x) ou a substituição u=\sin(x). Memorize essas duas manobras — elas salvam tempo.