Questão 5. Resolva a integral definida:
Passo 1
Enunciado: calcular a integral definida
Informações dadas:
limite inferior:
.
limite superior:
.
integrando:
.
O que se pede: encontrar o valor numérico da integral definida acima.
O que se pede: encontrar o valor numérico da integral definida acima.
Passo 2
Observação útil (por que olhar para
e
): quando vemos um logaritmo natural
junto com um fator
, frequentemente é conveniente usar a substituição
porque a derivada de
em relação a
é
Explicando a ideia da substituição (regra prática): se
e
, então numa integral podemos trocar
por
e
por
, simplificando a integral. Aqui temos exatamente
e
.
Passo 3
Aplicando a substituição
:
ou seja
Também precisamos trocar os limites: quando
temos
; quando
temos
.
Substituindo na integral:
Substituindo na integral:
Aqui eu usei que peguei os limites da própria integral e os converti através da relação
.
Passo 4
Agora calculamos a integral em
. Conhecimento necessário: a primitiva (antiderivada) de
é
. Explicando um pouco: a função
tem derivada
portanto
Como nosso intervalo de integração tem
em todo o caminho (
vai de
a
), podemos desprezar o valor absoluto e escrever
.
Passo 5
Avaliação da integral definida:
Como
, obtemos o resultado
Passo 6
Verificação rápida (dica para prova): uma antiderivada da função original pode ser escrita diretamente como
, porque, por regra da cadeia,
Isso confirma que a integral indefinida é
e, ao avaliar de
a
, dá
, consistente com o cálculo por substituição.