Questão 5. Resolva a integral definida:
\int_{1}^{e} \frac{1}{x(1+\ln x)} d x .

Passo 1

Enunciado: calcular a integral definida
\int_{1}^{e} \frac{1}{x(1+\ln x)}\,dx.
Informações dadas:
\;1 limite inferior: \;x=1.
\;2 limite superior: \;x=e.
\;3 integrando: \;\dfrac{1}{x(1+\ln x)}.
O que se pede: encontrar o valor numérico da integral definida acima.

Passo 2

Observação útil (por que olhar para \ln x e \dfrac{1}{x}): quando vemos um logaritmo natural \ln x junto com um fator \dfrac{1}{x}, frequentemente é conveniente usar a substituição
u=\ln x,
porque a derivada de \ln x em relação a x é
\frac{d}{dx}\ln x=\frac{1}{x}.
Explicando a ideia da substituição (regra prática): se u=g(x) e du=g'(x)\,dx, então numa integral podemos trocar g(x) por u e g'(x)\,dx por du, simplificando a integral. Aqui temos exatamente g(x)=\ln x e g'(x)=1/x.

Passo 3

Aplicando a substituição \;u=\ln x:
du=\frac{1}{x}\,dx,
ou seja
\frac{1}{x}\,dx=du.
Também precisamos trocar os limites: quando x=1 temos u=\ln 1=0; quando x=e temos u=\ln e=1.
Substituindo na integral:
\int_{1}^{e} \frac{1}{x(1+\ln x)}\,dx = \int_{u=0}^{u=1} \frac{1}{1+u}\,du.
Aqui eu usei que peguei os limites da própria integral e os converti através da relação u=\ln x.

Passo 4

Agora calculamos a integral em u. Conhecimento necessário: a primitiva (antiderivada) de \dfrac{1}{1+u} é \ln|1+u|. Explicando um pouco: a função \ln(1+u) tem derivada
\frac{d}{du}\ln(1+u)=\frac{1}{1+u},
portanto
\int \frac{1}{1+u}\,du=\ln|1+u| + C.
Como nosso intervalo de integração tem 1+u>0 em todo o caminho ( u vai de 0 a 1), podemos desprezar o valor absoluto e escrever \ln(1+u).

Passo 5

Avaliação da integral definida:
\int_{0}^{1} \frac{1}{1+u}\,du = \left.\ln(1+u)\right|_{0}^{1} = \ln(1+1)-\ln(1+0)=\ln 2-\ln 1.
Como \ln 1=0, obtemos o resultado
\ln 2.

Passo 6

Verificação rápida (dica para prova): uma antiderivada da função original pode ser escrita diretamente como \ln(1+\ln x), porque, por regra da cadeia,
\frac{d}{dx}\ln(1+\ln x)=\frac{1}{1+\ln x}\cdot\frac{1}{x}=\frac{1}{x(1+\ln x)}.
Isso confirma que a integral indefinida é \ln(1+\ln x)+C e, ao avaliar de 1 a e, dá \ln 2, consistente com o cálculo por substituição.

Resposta

\ln 2

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