Questão 4(1,0 p t) Calcule \int_{0}^{2 \pi} \frac{d \theta}{7+6 \cos \theta}
-0.15 / 1
\frac{2 \pi}{\sqrt{3}}
\square \frac{2 \pi}{3}
(1) -\frac{2 \pi}{3}
0
\frac{\pi}{\sqrt{13}}

Passo 1

O enunciado pede o valor da integral
\int_{0}^{2\pi} \frac{d\theta}{7+6\cos\theta}.
Informações dadas importantes: o integrando é 1/(7+6\cos\theta), o intervalo de integração é [0,2\pi], e os números 7 e 6 aparecem no denominador.

Passo 2

Vamos fazer uma mudança de variável clássica para integrais com senos e cossenos: a substituição de Weierstrass
t=\tan\!\left(\frac{\theta}{2}\right).
Preciso lembrar as fórmulas que relacionam t e as funções trigonométricas. São elas:
\cos\theta=\frac{1-t^2}{1+t^2}, \qquad d\theta=\frac{2\,dt}{1+t^2}.
Explicando: t é a tangente da metade do ângulo; a fórmula da coseno vem de identidades trigonométricas e a expressão de d\theta vem da derivada de \theta=2\arctan t.

Passo 3

Antes de substituir, verifique o mapeamento do intervalo. Quando \theta varia de 0 a 2\pi, a variável t=\tan(\theta/2) percorre toda a reta real de -\infty a +\infty passando por +\infty em \theta=\pi. Assim a integral sobre [0,2\pi] transforma-se numa integral sobre (-\infty,\infty).

Passo 4

Substituindo \cos\theta e d\theta no integrando:
primeiro calcule o denominador em termos de t:
7+6\cos\theta = 7 + 6\cdot\frac{1-t^2}{1+t^2}.
Colocando sobre um denominador comum 1+t^2,
7+6\cos\theta = \frac{7(1+t^2)+6(1-t^2)}{1+t^2} = \frac{7+7t^2+6-6t^2}{1+t^2} = \frac{13+t^2}{1+t^2}.

Passo 5

Agora transforme o integrando completo:
\frac{1}{7+6\cos\theta}\,d\theta = \frac{1}{\dfrac{13+t^2}{1+t^2}}\cdot\frac{2\,dt}{1+t^2} = \frac{1+t^2}{13+t^2}\cdot\frac{2\,dt}{1+t^2} = \frac{2\,dt}{13+t^2}.
Perceba que ocorreu uma simplificação bonita: os fatores 1+t^2 se cancelaram.

Passo 6

Portanto a integral original vira
\int_{0}^{2\pi} \frac{d\theta}{7+6\cos\theta} = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{2\,dt}{13+t^2} = 2\int_{-\infty}^{\infty} \frac{dt}{t^2+13}.

Passo 7

Para calcular \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dt}{t^2+a^2} usamos a substituição t=a u. Então
\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dt}{t^2+a^2} = \frac{1}{a}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{du}{u^2+1} = \frac{1}{a}\cdot\pi = \frac{\pi}{a},
pois \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\frac{du}{u^2+1}=\pi. No nosso caso a^2=13, logo a=\sqrt{13}.

Passo 8

Aplicando ao nosso integral:
2\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dt}{t^2+13} = 2\cdot\frac{\pi}{\sqrt{13}} = \frac{2\pi}{\sqrt{13}}.
Também valia conferir a condição que garante convergência: aqui 7>|6|, então o denominador nunca zera no intervalo, tudo consistente.

Resposta

\displaystyle \frac{2\pi}{\sqrt{13}}

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