Questão
Calcule
(1)
0
(1)
Passo 1
O enunciado pede o valor da integral
Informações dadas importantes: o integrando é
, o intervalo de integração é
, e os números
e
aparecem no denominador.
Passo 2
Vamos fazer uma mudança de variável clássica para integrais com senos e cossenos: a substituição de Weierstrass
Preciso lembrar as fórmulas que relacionam
e as funções trigonométricas. São elas:
Explicando:
é a tangente da metade do ângulo; a fórmula da coseno vem de identidades trigonométricas e a expressão de
vem da derivada de
.
Passo 3
Antes de substituir, verifique o mapeamento do intervalo. Quando
varia de
a
, a variável
percorre toda a reta real de
a
passando por
em
. Assim a integral sobre
transforma-se numa integral sobre
.
Passo 4
Substituindo
e
no integrando:
primeiro calcule o denominador em termos de :
primeiro calcule o denominador em termos de
Colocando sobre um denominador comum
,
Passo 5
Agora transforme o integrando completo:
Perceba que ocorreu uma simplificação bonita: os fatores
se cancelaram.
Passo 6
Portanto a integral original vira
Passo 7
Para calcular
usamos a substituição
. Então
pois
. No nosso caso
, logo
.
Passo 8
Aplicando ao nosso integral:
Também valia conferir a condição que garante convergência: aqui
, então o denominador nunca zera no intervalo, tudo consistente.