Resolva as seguintes integrais abaixo, utilizando integração por substituição:
\int_{0}^{1}(3 x+1)^{3} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{1}(3 x+1)^{3}\,dx
Informações dadas:
  • A função a ser integrada é (3x+1)^{3}.
  • Os limites de integração são x=0 e x=1.
  • Queremos usar integração por substituição (trocar a variável por outra que facilite a integral).

Passo 2

Ideia da substituição (explicação didática): quando a expressão dentro de uma potência é uma função linear do tipo 3x+1, é comum fazer uma mudança de variável para simplificar a potência. Definimos uma nova variável \;u\; que seja exatamente essa expressão interna:
u = 3x+1.
Agora calculamos a relação entre du e dx. Diferenciando com respeito a x:
du = 3\,dx.
Isto nos dá
dx = \frac{du}{3}.
Também precisamos transformar os limites de integração em termos de \;u\;. Quando x=0:
u = 3\cdot 0 + 1 = 1.
Quando x=1:
u = 3\cdot 1 + 1 = 4.

Passo 3

Substituímos tudo na integral original: trocar (3x+1) por \;u\; e dx por \frac{du}{3}, e os limites por u=1 e u=4. Assim obtemos
\int_{0}^{1}(3 x+1)^{3}\,dx = \int_{1}^{4} u^{3}\cdot\frac{du}{3}.
Fatorando a constante \frac{1}{3} para fora:
\int_{1}^{4} u^{3}\cdot\frac{du}{3} = \frac{1}{3}\int_{1}^{4} u^{3}\,du.

Passo 4

Agora calculamos a primitiva de u^{3}. A regra de potência diz que a primitiva de u^{n} é \dfrac{u^{n+1}}{n+1} (para n\neq -1). Aplicando com n=3:
\int u^{3}\,du = \frac{u^{4}}{4}.
Portanto a integral definida vale
\frac{1}{3}\left[\frac{u^{4}}{4}\right]_{1}^{4} = \frac{1}{12}\left(u^{4}\right)\Big|_{1}^{4}.
Calculamos 4^{4} e 1^{4}: 4^{2}=16, então 4^{4}=16^{2}=256, e 1^{4}=1. Substituindo:
\frac{1}{12}\left(256-1\right)=\frac{255}{12}.

Passo 5

Simplificamos a fração \dfrac{255}{12}. Dividindo numerador e denominador por 3:
\frac{255}{12}=\frac{85}{4}.
Como dica rápida para a prova: você podia também expandir (3x+1)^{3} e integrar termo a termo, mas isso dá mais conta. A substituição foi mais direta porque capturou a função interna linear.

Resposta

\dfrac{85}{4}

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