Resolva as seguintes integrais abaixo, utilizando integração por substituição: \int_{0}^{1}(3 x+1)^{3} d x
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{1}(3 x+1)^{3}\,dx
Informações dadas:
A função a ser integrada é (3x+1)^{3}.
Os limites de integração são x=0 e x=1.
Queremos usar integração por substituição (trocar a variável por outra que facilite a integral).
Passo 2
Ideia da substituição (explicação didática): quando a expressão dentro de uma potência é uma função linear do tipo 3x+1, é comum fazer uma mudança de variável para simplificar a potência. Definimos uma nova variável \;u\; que seja exatamente essa expressão interna:
u = 3x+1.
Agora calculamos a relação entre du e dx. Diferenciando com respeito a x:
du = 3\,dx.
Isto nos dá
dx = \frac{du}{3}.
Também precisamos transformar os limites de integração em termos de \;u\;. Quando x=0:
u = 3\cdot 0 + 1 = 1.
Quando x=1:
u = 3\cdot 1 + 1 = 4.
Passo 3
Substituímos tudo na integral original: trocar (3x+1) por \;u\; e dx por \frac{du}{3}, e os limites por u=1 e u=4. Assim obtemos
Calculamos 4^{4} e 1^{4}: 4^{2}=16, então 4^{4}=16^{2}=256, e 1^{4}=1. Substituindo:
\frac{1}{12}\left(256-1\right)=\frac{255}{12}.
Passo 5
Simplificamos a fração \dfrac{255}{12}. Dividindo numerador e denominador por 3:
\frac{255}{12}=\frac{85}{4}.
Como dica rápida para a prova: você podia também expandir (3x+1)^{3} e integrar termo a termo, mas isso dá mais conta. A substituição foi mais direta porque capturou a função interna linear.