Os limites de integração são x=0 (limite inferior) e x=\frac{\pi}{2} (limite superior).
A função integranda é \sin(x)\cos^{2}(x).
Passo 2
Escolhemos uma substituição para simplificar a integral. Observe que a derivada de \cos(x) está relacionada com \sin(x). Definimos
u=\cos(x).
Agora calculamos du. Como \dfrac{d}{dx}\cos(x)=-\sin(x), temos
du = -\sin(x)\,dx.
Isso implica que
\sin(x)\,dx = -du.
Explicação rápida do porquê isso ajuda: a integranda tem um fator \cos^{2}(x) que fica simples se substituirmos \cos(x) por u, e o fator \sin(x)\,dx se transforma exatamente em -du, permitindo reescrever toda a integral em termos de u.
Passo 3
Vamos transformar os limites de integração em termos de u. Quando x=0,
Explicando a conta: elevamos o limite superior 1 à terceira potência (fica 1) e dividimos por 3; o limite inferior 0 dá 0.
Passo 6
Verificação rápida de consistência (opcional mas útil na prova): a integranda \sin(x)\cos^{2}(x) é não-negativa em [0,\tfrac{\pi}{2}], então o resultado da integral definida deve ser não-negativo — e \tfrac{1}{3} é não-negativo, faz sentido. Também poderíamos derivar a primitiva obtida ao voltar para x e conferir que dá a integranda original.