Resolva as seguintes integrais abaixo, utilizando integração por substituição:
\int_{0}^{\pi / 2} \sin (x) \cos ^{2}(x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin(x)\,\cos^{2}(x)\,dx.
Informações dadas:
  • A variável de integração é x.
  • Os limites de integração são x=0 (limite inferior) e x=\frac{\pi}{2} (limite superior).
  • A função integranda é \sin(x)\cos^{2}(x).

Passo 2

Escolhemos uma substituição para simplificar a integral. Observe que a derivada de \cos(x) está relacionada com \sin(x). Definimos
u=\cos(x).
Agora calculamos du. Como \dfrac{d}{dx}\cos(x)=-\sin(x), temos
du = -\sin(x)\,dx.
Isso implica que
\sin(x)\,dx = -du.
Explicação rápida do porquê isso ajuda: a integranda tem um fator \cos^{2}(x) que fica simples se substituirmos \cos(x) por u, e o fator \sin(x)\,dx se transforma exatamente em -du, permitindo reescrever toda a integral em termos de u.

Passo 3

Vamos transformar os limites de integração em termos de u. Quando x=0,
u=\cos(0)=1.
Quando x=\frac{\pi}{2},
u=\cos\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=0.
Substituindo na integral original cada parte:
\sin(x)\,dx = -du,\qquad \cos^{2}(x)=u^{2},
portanto
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin(x)\cos^{2}(x)\,dx = \int_{u=1}^{u=0} (-u^{2})\,du.

Passo 4

Para facilitar, tiramos o sinal negativo trocando a ordem dos limites (trocar limites muda o sinal):
\int_{1}^{0} (-u^{2})\,du = \int_{0}^{1} u^{2}\,du.
Agora precisamos calcular \int_{0}^{1} u^{2}\,du. Usamos a regra da potência para integrais: para n\neq -1,
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C.
Aqui n=2, logo uma primitiva de u^{2} é
\frac{u^{3}}{3}.

Passo 5

Aplicamos a primitiva nos limites de 0 a 1:
\int_{0}^{1} u^{2}\,du = \left.\frac{u^{3}}{3}\right|_{0}^{1} = \frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3} = \frac{1}{3}.
Explicando a conta: elevamos o limite superior 1 à terceira potência (fica 1) e dividimos por 3; o limite inferior 0 0.

Passo 6

Verificação rápida de consistência (opcional mas útil na prova): a integranda \sin(x)\cos^{2}(x) é não-negativa em [0,\tfrac{\pi}{2}], então o resultado da integral definida deve ser não-negativo — e \tfrac{1}{3} é não-negativo, faz sentido. Também poderíamos derivar a primitiva obtida ao voltar para x e conferir que dá a integranda original.

Resposta

\dfrac{1}{3}

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