Demonstrar que para todo natural
é um número par.
Passo 1
O enunciado pede: dada qualquer natural
, demonstrar que a expressão
é um número par.
Informações dadas: é um número natural (ou seja
) e a expressão a avaliar é
.
Pergunta clara: provar que, para todo , a quantidade
é par.
Informações dadas:
Pergunta clara: provar que, para todo
Passo 2
Definição importante (fundamental para a prova): um inteiro
é par se existe um inteiro
tal que
Analogamente,
é ímpar se existe um inteiro
tal que
Exemplos rápidos para fixar:
é par porque
.
é ímpar porque
.
Passo 3
Vamos reescrever a expressão de um jeito que deixe evidente a paridade:
Isto é só fatorar os dois primeiros termos por
. Essa forma é útil porque
e
são inteiros consecutivos.
Passo 4
Fato chave sobre pares e números consecutivos: entre dois inteiros consecutivos, um deles é par. Em outras palavras, para quaisquer inteiros
e
, pelo menos um é par. Aplicando isso a
e
, concluímos que um deles é par. Portanto, o produto
é par (produto em que pelo menos um fator é par resulta em número par).
Passo 5
Pondo isso com símbolo: como
é par, existe algum inteiro
tal que
Substituindo na expressão do Passo 3 obtemos
Passo 6
Fatorando
em
temos
Como
é inteiro,
também é inteiro. Logo
é da forma
vezes um inteiro, isto é, é par, conforme a definição do Passo 2.
Passo 7
(se quiser ver uma verificação alternativa por casos — opcional —) Caso 1: se
é par,
e então
que é par. Caso 2: se
é ímpar,
e então
que também é par. Ambos os casos confirmam o mesmo resultado do método anterior.
Resposta
Para todo
,
é par.