Demonstrar que para todo natural \mathrm{n}: \mathrm{n}^{2}+\mathrm{n}+2 é um número par.

Passo 1

O enunciado pede: dada qualquer natural n, demonstrar que a expressão n^{2}+n+2 é um número par.
Informações dadas: n é um número natural (ou seja n\in\mathbb{N}) e a expressão a avaliar é n^{2}+n+2.
Pergunta clara: provar que, para todo n\in\mathbb{N}, a quantidade n^{2}+n+2 é par.

Passo 2

Definição importante (fundamental para a prova): um inteiro m é par se existe um inteiro k tal que
m=2k.
Analogamente, m é ímpar se existe um inteiro k tal que
m=2k+1.
Exemplos rápidos para fixar: 6 é par porque 6=2\cdot 3. 7 é ímpar porque 7=2\cdot 3+1.

Passo 3

Vamos reescrever a expressão de um jeito que deixe evidente a paridade:
n^{2}+n+2 = n(n+1)+2.
Isto é só fatorar os dois primeiros termos por n. Essa forma é útil porque n e n+1 são inteiros consecutivos.

Passo 4

Fato chave sobre pares e números consecutivos: entre dois inteiros consecutivos, um deles é par. Em outras palavras, para quaisquer inteiros a e a+1, pelo menos um é par. Aplicando isso a n e n+1, concluímos que um deles é par. Portanto, o produto n(n+1) é par (produto em que pelo menos um fator é par resulta em número par).

Passo 5

Pondo isso com símbolo: como n(n+1) é par, existe algum inteiro k tal que
n(n+1)=2k.
Substituindo na expressão do Passo 3 obtemos
n^{2}+n+2 = 2k + 2.

Passo 6

Fatorando 2 em 2k+2 temos
2k+2 = 2(k+1).
Como k é inteiro, k+1 também é inteiro. Logo n^{2}+n+2 é da forma 2 vezes um inteiro, isto é, é par, conforme a definição do Passo 2.

Passo 7

(se quiser ver uma verificação alternativa por casos — opcional —) Caso 1: se n é par, n=2t e então
n^{2}+n+2 = 4t^{2}+2t+2 = 2(2t^{2}+t+1),
que é par. Caso 2: se n é ímpar, n=2t+1 e então
n^{2}+n+2 = (2t+1)^{2}+(2t+1)+2 = 4t^{2}+6t+4 = 2(2t^{2}+3t+2),
que também é par. Ambos os casos confirmam o mesmo resultado do método anterior.

Resposta

Para todo n\in\mathbb{N}, n^{2}+n+2 é par.

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