Questão 1. Calcule:
\int x^{2} \cos (\pi x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int x^{2}\cos(\pi x)\,dx.
Informações dadas/úteis: a função integranda é um produto entre um polinômio x^{2} e a função trigonométrica \cos(\pi x). Como é uma integral indefinida, o resultado terá uma constante de integração C. Não há condições adicionais.

Passo 2

Vamos usar a fórmula de integração por partes. A fórmula é:
\int u\,dv = u v - \int v\,du.
Aqui u e dv são escolhas que fazemos para decompor a integral; du é a derivada de u e v é uma primitiva de dv. Esta técnica é útil quando temos produto de funções, como polinômio vezes trigonométrica.

Passo 3

Escolhemos
u = x^{2},\qquad dv = \cos(\pi x)\,dx.
Calculamos
du = 2x\,dx,
e uma primitiva de \cos(\pi x) é
v = \int \cos(\pi x)\,dx = \frac{1}{\pi}\sin(\pi x),
pois \dfrac{d}{dx}\big(\sin(\pi x)\big)=\pi\cos(\pi x). Aplicando integração por partes:
\int x^{2}\cos(\pi x)\,dx = x^{2}\cdot\frac{1}{\pi}\sin(\pi x) - \int \frac{1}{\pi}\sin(\pi x)\cdot 2x\,dx.
Simplificando o fator:
\int x^{2}\cos(\pi x)\,dx = \frac{x^{2}}{\pi}\sin(\pi x) - \frac{2}{\pi}\int x\sin(\pi x)\,dx.

Passo 4

Agora precisamos calcular \int x\sin(\pi x)\,dx. Aplica-se integração por partes outra vez com
u = x,\qquad dv = \sin(\pi x)\,dx.
Então
du = dx,\qquad v = \int \sin(\pi x)\,dx = -\frac{1}{\pi}\cos(\pi x),
pois \dfrac{d}{dx}\big(\cos(\pi x)\big)=-\pi\sin(\pi x). Aplicando a fórmula:
\int x\sin(\pi x)\,dx = x\cdot\Big(-\frac{1}{\pi}\cos(\pi x)\Big) - \int \Big(-\frac{1}{\pi}\cos(\pi x)\Big)\,dx.
Isto é
\int x\sin(\pi x)\,dx = -\frac{x}{\pi}\cos(\pi x) + \frac{1}{\pi}\int \cos(\pi x)\,dx.
Já sabemos \int \cos(\pi x)\,dx=\dfrac{1}{\pi}\sin(\pi x), portanto
\int x\sin(\pi x)\,dx = -\frac{x}{\pi}\cos(\pi x) + \frac{1}{\pi}\cdot\frac{1}{\pi}\sin(\pi x) = -\frac{x}{\pi}\cos(\pi x) + \frac{1}{\pi^{2}}\sin(\pi x).

Passo 5

Voltando à expressão do Passo 3 e substituindo o resultado do Passo 4:
\int x^{2}\cos(\pi x)\,dx = \frac{x^{2}}{\pi}\sin(\pi x) - \frac{2}{\pi}\left(-\frac{x}{\pi}\cos(\pi x) + \frac{1}{\pi^{2}}\sin(\pi x)\right).
Distribuindo -\dfrac{2}{\pi}:
\int x^{2}\cos(\pi x)\,dx = \frac{x^{2}}{\pi}\sin(\pi x) + \frac{2x}{\pi^{2}}\cos(\pi x) - \frac{2}{\pi^{3}}\sin(\pi x) + C.
Podemos verificar rapidamente derivando o resultado: a derivada das duas primeiras parcelas cancela os termos remanescentes e sobra exatamente x^{2}\cos(\pi x), confirmando que a primitiva está correta.

Resposta

\frac{x^{2}}{\pi}\sin(\pi x) + \frac{2x}{\pi^{2}}\cos(\pi x) - \frac{2}{\pi^{3}}\sin(\pi x) + C

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