Questão 1. Calcule:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas/úteis: a função integranda é um produto entre um polinômio
e a função trigonométrica
. Como é uma integral indefinida, o resultado terá uma constante de integração
. Não há condições adicionais.
Passo 2
Vamos usar a fórmula de integração por partes. A fórmula é:
Aqui
e
são escolhas que fazemos para decompor a integral;
é a derivada de
e
é uma primitiva de
. Esta técnica é útil quando temos produto de funções, como polinômio vezes trigonométrica.
Passo 3
Escolhemos
Calculamos
e uma primitiva de
é
pois
. Aplicando integração por partes:
Simplificando o fator:
Passo 4
Agora precisamos calcular
. Aplica-se integração por partes outra vez com
Então
pois
. Aplicando a fórmula:
Isto é
Já sabemos
, portanto
Passo 5
Voltando à expressão do Passo 3 e substituindo o resultado do Passo 4:
Distribuindo
:
Podemos verificar rapidamente derivando o resultado: a derivada das duas primeiras parcelas cancela os termos remanescentes e sobra exatamente
, confirmando que a primitiva está correta.