Questão 2. Seja
a função dada por
(a) Calcule
e mostre que
é inversível em
.
(b) Determine uma expressão para
(a função inversa de
).
(c) Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de
em
.
(b) Determine uma expressão para
(c) Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede três coisas:
- Calcular
e mostrar que é inversível em . - Determinar uma expressão para
(a inversa de ). - Encontrar a equação da reta tangente ao gráfico de
em .
Informações relevantes fornecidas:
Nada mais foi dado; vamos usar propriedades de exponenciais, logaritmos, derivadas e a relação entre derivada da função e derivada da inversa.
Passo 2
Calcular
: primeiro simplificamos a expressão usando propriedades do logaritmo (para ficar mais fácil de derivar):
Explicação das propriedades usadas:
. Aqui
e
.
Agora derivamos termo a termo. Recorde rápido (mini-aula):
- A derivada de
é (regra da cadeia). - A derivada de
é .
Aplicando: a derivada de
é
(constante). Para
, usamos regra da cadeia:
Portanto
Vamos explicar cada símbolo: em
, o numerador vem de derivar
(que dá
) e o denominador é o argumento da função logaritmo
.
Passo 3
Mostrar que
é inversível em
: ideia e justificativa completa.
Uma função é inversível se for injetora (e então tem inversa definida sobre sua imagem). Um critério simples: se
para todo
então é estritamente crescente; se
para todo
então é estritamente decrescente. Função estritamente monotona em
é injetora, logo inversível (como função
).
Aqui observamos que para todo
,
. Então o numerador
e o denominador
. Assim
Logo
é estritamente decrescente e, portanto, injetora e inversível (como função de domínio
para sua imagem).
Também é útil conhecer a imagem de
(para saber o domínio de
). Calculamos limites nas extremidades:
pois
e a fração tende a
.
pois
e a fração tende a
.
Portanto . Conclusão:
é inversível como função
.
Portanto
Passo 4
Determinar
: resolver explicitamente
em função de
para obter
.
Começamos com
Exponentiando ambos os lados (aplicando
) obtemos
Agora isolamos
. Primeiro invertendo:
Subtraindo
:
Para poder aplicar logaritmo e obter
, precisamos que o lado direito seja positivo. Exigência:
o que coincide com a imagem que encontramos antes. Portanto a expressão é válida para
.
Tomando log natural e dividindo por
:
Conclusão: a inversa escrita em termos de uma variável genérica (que normalmente chamamos de
quando definimos
) é
Observação: tome cuidado com o domínio: apenas valores
pertencem ao domínio de
.
Passo 5
Derivada de
em um ponto e aplicação para
.
Teoria rápida (mini-aula): se
é diferenciável e
e
é invertível, então a inversa
é diferenciável em
e vale
Aqui, para calcular
, precisamos encontrar
tal que
, isto é
. Em seguida aplicamos a fórmula acima.
Primeiro encontramos
. Podemos usar a expressão inversa que obtivemos ou resolver
. Fazendo
:
Assim
e
. Portanto
. (Checagem rápida com a fórmula:
.)
Agora calculamos
usando a fórmula do Passo 2:
Portanto, pela fórmula da derivada da inversa,
Passo 6
Equação da reta tangente ao gráfico de
em
.
A equação da reta tangente a uma função
no ponto
é
Aqui
,
,
e
. Substituindo:
Portanto a reta tangente é
.
Resposta
(a)
. Sim,
é inversível em
(estritamente decrescente); imagem
.
(b) , com domínio
.
(c) Equação da reta tangente em :
.
(b)
(c) Equação da reta tangente em