Questão 1: Calcule as integrais abaixo,
integral0^2 integraly / 2^1 pi sen(pi x^2) d x d y

Passo 1

O enunciado nos pede para calcular a integral dupla
integral0^2integraly/2^1pisenl(pi x^2r),dx,dy
O conteúdo aqui envolve integração dupla e troca de ordem de integração (Teorema de Fubini), seguida de substituição para resolver a integral resultante.

Passo 2

Como a integral interna
integraly/2^1pisenl(pi x^2r),dx
não é imediata, aplicamos o Teorema de Fubini para trocar a ordem de integração. Primeiro, descrevemos a região
D = l(x,y)mid 0<= y<= 2,;tfracy2<= x<= 1r

Passo 3

Para trocar a ordem, fixamos x e vemos para quais y temos pontos em D. A condição tfracy2<= x equivale a 0<= y<= 2x. Como y originalmente varia até 2 e 2x<= 2 para 0<= x<=1, obtemos
0<= x<=1, 0<= y<=2x
Logo a integral vira
integralx=0^1integraly=0^2xpisenl(pi x^2r),dy,dx

Passo 4

Integramos primeiro em y. Como pisenl(pi x^2r) independe de y, temos
integraly=0^2xpisenl(pi x^2r),dy =pisenl(pi x^2r)cdotl[,yr]0^2x =2pi x,senl(pi x^2r)
Assim a integral completa é
integral0^12pi x,senl(pi x^2r),dx

Passo 5

Para resolver
integral0^12pi x,senl(pi x^2r),dx
fazemos a substituição u=pi x^2. Então du=2pi x,dx e, nos limites, x=0mapsto u=0, x=1mapsto u=pi. A integral fica
integralu=0^pisen(u),du

Passo 6

A primitiva de sen(u) é -cos(u), logo
integral0^pisen(u),du =l[-cos(u)r]0^pi =-cos(pi)+cos(0) =-(-1)+1 =2

Resposta

O valor da integral é 2.

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