Questão 1: Calcule as integrais (definidas e indefinidas) abaixo:
\int_{1}^{2}\left(\int_{1}^{x} \ln (t) d t\right) d x

Passo 1

O enunciado dá a expressão
\int_{1}^{2}\left(\int_{1}^{x} \ln(t)\,dt\right) dx
e pede que calculemos as integrais definidas e indefinidas relacionadas. Informações relevantes:
  • A integral interna é \int_{1}^{x} \ln(t)\,dt; ela depende de x.
  • A integral externa é a integral em x de (essa função de x) entre \,x=1 e \,x=2.
    O que precisamos entregar:
  • Uma primitiva (integral indefinida) da função x\mapsto\int_{1}^{x}\ln(t)\,dt.
  • O valor da integral definida \int_{1}^{2}\left(\int_{1}^{x}\ln(t)\,dt\right)dx.

Passo 2

Primeiro precisamos calcular a integral interna como função de x, isto é, encontrar
F(x)=\int_{1}^{x}\ln(t)\,dt.
Para isso usamos a técnica de integração por partes. Lembrete da fórmula de integração por partes:
\int u\,dv = u v - \int v\,du,
onde u e dv são escolhas nossas; du é a diferencial de u e v é uma primitiva de dv.
Aqui aplicamos para \int \ln(t)\,dt. Tomamos
u=\ln(t),\qquad dv=dt.
Então
du=\frac{1}{t}\,dt,\qquad v=t.
Aplicando a fórmula:
\int \ln(t)\,dt = \ln(t)\cdot t - \int t\cdot\frac{1}{t}\,dt = t\ln(t) - \int 1\,dt = t\ln(t) - t + C.
Portanto uma primitiva de \ln(t) é t\ln(t)-t. Agora avaliamos essa primitiva entre t=1 e t=x para obter F(x):
F(x)=\left[t\ln(t)-t\right]_{t=1}^{t=x} = \big(x\ln(x)-x\big) - \big(1\ln(1)-1\big).
Como \ln(1)=0, isso dá
F(x)=x\ln(x)-x+1.
Comentário amigo: essa é uma forma clássica de ver que \int_{1}^{x}\ln(t)\,dt cresce como x\ln x menos termos polinomiais — guarde esse padrão, cai bastante em prova.

Passo 3

Agora calculamos a integral indefinida da função F(x):
\int F(x)\,dx = \int\big(x\ln(x)-x+1\big)\,dx.
Vamos integrar termo a termo. Precisamos especialmente de \int x\ln(x)\,dx. Outra vez usamos integração por partes. Tomamos
u=\ln(x),\qquad dv=x\,dx.
Então
du=\frac{1}{x}\,dx,\qquad v=\frac{x^{2}}{2}.
Aplicando a fórmula:
\int x\ln(x)\,dx = \frac{x^{2}}{2}\ln(x) - \int \frac{x^{2}}{2}\cdot\frac{1}{x}\,dx = \frac{x^{2}}{2}\ln(x) - \int \frac{x}{2}\,dx.
A integral \int \frac{x}{2}\,dx é \frac{1}{2}\cdot\frac{x^{2}}{2}=\frac{x^{2}}{4}. Logo
\int x\ln(x)\,dx = \frac{x^{2}}{2}\ln(x) - \frac{x^{2}}{4}.
Agora integramos os demais termos:
\int (-x)\,dx = -\frac{x^{2}}{2},\qquad \int 1\,dx = x.
Somando tudo:
\int F(x)\,dx = \left(\frac{x^{2}}{2}\ln(x) - \frac{x^{2}}{4}\right) - \frac{x^{2}}{2} + x + C.
Agrupando os termos quadráticos:
- \frac{x^{2}}{4} - \frac{x^{2}}{2} = -\frac{3x^{2}}{4},
logo uma primitiva é
\int\left(\int_{1}^{x}\ln(t)\,dt\right)dx = \frac{x^{2}}{2}\ln(x) - \frac{3x^{2}}{4} + x + C.
Observação pedagógica: esse é o resultado indefinido pedido; o +C aparece porque primitiva é definida até uma constante.

Passo 4

Agora vamos calcular a integral definida
\int_{1}^{2}\left(\int_{1}^{x}\ln(t)\,dt\right)dx.
Usamos a primitiva encontrada no passo anterior e avaliamos entre x=1 e x=2. Seja
G(x)=\frac{x^{2}}{2}\ln(x) - \frac{3x^{2}}{4} + x.
Então
\int_{1}^{2}\left(\int_{1}^{x}\ln(t)\,dt\right)dx = \big[G(x)\big]_{1}^{2} = G(2)-G(1).
Calculemos G(2):
G(2)=\frac{2^{2}}{2}\ln(2) - \frac{3\cdot 2^{2}}{4} + 2 = \frac{4}{2}\ln(2) - \frac{12}{4} + 2 = 2\ln(2) - 3 + 2 = 2\ln(2) - 1.
Calculemos G(1). Lembrando \ln(1)=0:
G(1)=\frac{1^{2}}{2}\ln(1) - \frac{3\cdot 1^{2}}{4} + 1 = 0 - \frac{3}{4} + 1 = \frac{1}{4}.
Subtraindo:
G(2)-G(1) = \big(2\ln(2)-1\big) - \frac{1}{4} = 2\ln(2) - \frac{5}{4}.
Esse é o valor exato da integral definida.

Resposta

\displaystyle \int\left(\int_{1}^{x}\ln(t)\,dt\right)dx = \frac{x^{2}}{2}\ln(x) - \frac{3x^{2}}{4} + x + C\n \displaystyle \int_{1}^{2}\left(\int_{1}^{x}\ln(t)\,dt\right)dx = 2\ln(2) - \tfrac{5}{4}

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