Questão 1: Calcule as integrais (definidas e indefinidas) abaixo:
Passo 1
O enunciado dá a expressão
e pede que calculemos as integrais definidas e indefinidas relacionadas. Informações relevantes:
- A integral interna é
; ela depende de . - A integral externa é a integral em
de (essa função de ) entre e .
O que precisamos entregar: - Uma primitiva (integral indefinida) da função
. - O valor da integral definida
.
Passo 2
Primeiro precisamos calcular a integral interna como função de
, isto é, encontrar
Para isso usamos a técnica de integração por partes. Lembrete da fórmula de integração por partes:
onde
e
são escolhas nossas;
é a diferencial de
e
é uma primitiva de
.
Aqui aplicamos para
. Tomamos
Então
Aplicando a fórmula:
Portanto uma primitiva de
é
. Agora avaliamos essa primitiva entre
e
para obter
:
Como
, isso dá
Comentário amigo: essa é uma forma clássica de ver que
cresce como
menos termos polinomiais — guarde esse padrão, cai bastante em prova.
Passo 3
Agora calculamos a integral indefinida da função
:
Vamos integrar termo a termo. Precisamos especialmente de
. Outra vez usamos integração por partes. Tomamos
Então
Aplicando a fórmula:
A integral
é
. Logo
Agora integramos os demais termos:
Somando tudo:
Agrupando os termos quadráticos:
logo uma primitiva é
Observação pedagógica: esse é o resultado indefinido pedido; o
aparece porque primitiva é definida até uma constante.
Passo 4
Agora vamos calcular a integral definida
Usamos a primitiva encontrada no passo anterior e avaliamos entre
e
. Seja
Então
Calculemos
:
Calculemos
. Lembrando
:
Subtraindo:
Esse é o valor exato da integral definida.