Questão 1: Calcule as integrais (definidas e indefinidas) abaixo:
\int_{0}^{1} x^{6}\left(x^{7}-1\right)^{10} d x

Passo 1

O enunciado pede que calculemos a integral indefinida e a integral definida
\int_{0}^{1} x^{6}\left(x^{7}-1\right)^{10} \, dx.
Informações dadas:
  • A função integranda é x^{6}\left(x^{7}-1\right)^{10}.
  • A integral definida tem limites inferiores 0 e superiores 1.
  • Também é pedido o antiderivado (integração indefinida) de x^{6}\left(x^{7}-1\right)^{10}.

Passo 2

Identificar um método apropriado: observando a integranda vemos uma composição \left(x^{7}-1\right)^{10} multiplicada por x^{6}. É bem típico usar substituição (trocar a parte interna da potência por uma nova variável) quando aparece uma função elevada a uma potência e seu “quase-derivada” multiplicando fora. Vamos explicar a substituição:
  • Definimos u como a parte interna da potência:
u = x^{7}-1.
  • Calculamos du em função de dx. Diferenciando em relação a x:
\frac{du}{dx} = 7x^{6}.
  • Isso implica que
du = 7x^{6}\,dx \quad\text{ou}\quad x^{6}\,dx = \frac{1}{7}\,du.
A ideia é substituir x^{6}\,dx por \frac{1}{7}\,du e \left(x^{7}-1\right)^{10} por u^{10}, transformando a integral numa integral muito mais simples em u.

Passo 3

Fazendo a substituição para a integral indefinida:
\int x^{6}\left(x^{7}-1\right)^{10}\,dx
usa u = x^{7}-1 e x^{6}\,dx = \frac{1}{7}\,du. Portanto,
\int x^{6}\left(x^{7}-1\right)^{10}\,dx = \int \frac{1}{7}u^{10}\,du.
Agora calculamos a primitiva de u^{10}. A regra básica de potência para integrais diz que, para n\neq -1,
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C,
onde C é a constante de integração. Aplicando com n=10:
\int u^{10}\,du = \frac{u^{11}}{11} + C.
Multiplicando pelo fator \frac{1}{7} que ficou fora:
\int \frac{1}{7}u^{10}\,du = \frac{1}{7}\cdot\frac{u^{11}}{11} + C = \frac{u^{11}}{77} + C.
Finalmente voltamos à variável x substituindo u = x^{7}-1:
\int x^{6}\left(x^{7}-1\right)^{10}\,dx = \frac{\left(x^{7}-1\right)^{11}}{77} + C.
Aqui C é a constante de integração; sempre lembre que antiderivada é definida até uma constante.

Passo 4

Agora a integral definida \displaystyle \int_{0}^{1} x^{6}\left(x^{7}-1\right)^{10}\,dx. Temos duas formas equivalentes: (A) usar a primitiva encontrada e avaliar nos limites ou (B) fazer a substituição e transformar os limites. Vou mostrar a substituição com limites, que evita ficar lembrando +C.
Com u = x^{7}-1:
  • quando x=0 temos u(0)=0^{7}-1=-1;
  • quando x=1 temos u(1)=1^{7}-1=0.
Também x^{6}\,dx = \frac{1}{7}\,du. Então
\int_{0}^{1} x^{6}\left(x^{7}-1\right)^{10}\,dx = \int_{u=-1}^{u=0} \frac{1}{7}u^{10}\,du.
Tirando a constante \frac{1}{7} fora da integral:
\frac{1}{7}\int_{-1}^{0} u^{10}\,du.
Calcule a integral de u^{10}:
\int_{-1}^{0} u^{10}\,du = \left.\frac{u^{11}}{11}\right|_{-1}^{0} = \frac{0^{11}}{11} - \frac{(-1)^{11}}{11}.
Observe que 0^{11}=0 e (-1)^{11}=-1 porque 11 é ímpar. Então
\int_{-1}^{0} u^{10}\,du = 0 - \frac{-1}{11} = \frac{1}{11}.
Multiplicando pelo fator \frac{1}{7}:
\frac{1}{7}\cdot\frac{1}{11} = \frac{1}{77}.
Se preferir verificar com a primitiva encontrada no Passo 3: defina F(x)=\dfrac{(x^{7}-1)^{11}}{77}. Então
\int_{0}^{1} x^{6}\left(x^{7}-1\right)^{10}\,dx = F(1)-F(0) = \frac{(1^{7}-1)^{11}}{77} - \frac{(0^{7}-1)^{11}}{77} = \frac{0^{11}}{77} - \frac{(-1)^{11}}{77} = \frac{1}{77},
mesmo resultado.

Passo 5

Comentários finais e armadilhas comuns:
  • Erro típico: esquecer o fator 7 ao derivar x^{7}. Lembre que \frac{d}{dx}(x^{7})=7x^{6}, por isso x^{6}\,dx=\frac{1}{7}du.
  • Outro detalhe: ao avaliar em x=0 aparece (x^{7}-1)^{11}=( -1)^{11}=-1 porque a potência 11 é ímpar; isso garante que o sinal fique correto.
  • A técnica usada foi a substituição simples (u-substitution), que é a primeira ferramenta a tentar quando há uma função composta elevada a uma potência e seu “quase-derivado” aparece multiplicando.

Resposta

\displaystyle \int x^{6}\left(x^{7}-1\right)^{10}\,dx = \frac{\left(x^{7}-1\right)^{11}}{77} + C\n \displaystyle \int_{0}^{1} x^{6}\left(x^{7}-1\right)^{10}\,dx = \frac{1}{77}

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