Questão 1: Calcule as integrais (definidas e indefinidas) abaixo:
\int \operatorname{tg}(x) \operatorname{sec} ^{2}(x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular as integrais (definidas e indefinidas) de
\int \operatorname{tg}(x)\,\operatorname{sec}^{2}(x)\,dx.
Informações dadas:
\text{Integrando: }\operatorname{tg}(x)\,\operatorname{sec}^{2}(x),\qquad\text{variável de integração: }x.áçã
O enunciado não traz limites explícitos; portanto vou calcular a integral indefinida e também dar a expressão geral da integral definida entre dois pontos a e b (desde que \operatorname{tg} seja contínua no intervalo).

Passo 2

Ideia do método (aula rápida sobre substituição):
  • Quando a integral contém uma função g(x) e também o seu derivado g'(x), é eficaz fazer a substituição u=g(x).
  • Mais precisamente, se fizermos u=g(x) e du=g'(x)\,dx, então a integral em x vira uma integral em u: \int g'(x)g(x)\,dx=\int u\,du=\dfrac{u^{2}}{2}+C.
  • Aqui: sabemos que a derivada de \operatorname{tg}(x) é \operatorname{sec}^{2}(x). Logo a integranda tem a forma “função vezes derivada da função”, o cenário perfeito para u-substituição.

Passo 3

Aplicando a substituição passo a passo:
  1. Faça u=\operatorname{tg}(x).
  2. Então du=\operatorname{sec}^{2}(x)\,dx. (Isto é só a definição de derivada: \dfrac{d}{dx}\operatorname{tg}(x)=\operatorname{sec}^{2}(x).)
  3. Substituindo na integral original:
\int \operatorname{tg}(x)\,\operatorname{sec}^{2}(x)\,dx=\int u\,du.
  1. Calcule \int u\,du:
\int u\,du=\frac{u^{2}}{2}+C.
  1. Volte à variável x substituindo u=\operatorname{tg}(x):
\int \operatorname{tg}(x)\,\operatorname{sec}^{2}(x)\,dx=\frac{1}{2}\operatorname{tg}^{2}(x)+C.

Passo 4

Verificação (checando por derivação):
  • Derive \dfrac{1}{2}\operatorname{tg}^{2}(x) usando a regra da cadeia:
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{1}{2}\operatorname{tg}^{2}(x)\right)=\frac{1}{2}\cdot 2\operatorname{tg}(x)\cdot\frac{d}{dx}\operatorname{tg}(x)=\operatorname{tg}(x)\,\operatorname{sec}^{2}(x),
que é exatamente a integranda. Portanto a primitiva está correta.

Passo 5

Integral definida (aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo):
  • Se quisermos a integral definida entre a e b (em que \operatorname{tg} e \operatorname{sec}^{2} sejam contínuas no intervalo, ou seja, o intervalo não contenha pontos onde \operatorname{tg} não está definida), usamos a primitiva encontrada:
\int_{a}^{b}\operatorname{tg}(x)\,\operatorname{sec}^{2}(x)\,dx=\left.\frac{1}{2}\operatorname{tg}^{2}(x)\right|_{x=a}^{x=b}=\frac{1}{2}\big(\operatorname{tg}^{2}(b)-\operatorname{tg}^{2}(a)\big).
  • Observação importante: se o intervalo cruzar uma descontinuidade de \operatorname{tg} (por exemplo x=\tfrac{\pi}{2}+k\pi), a integral é imprópria e deve ser tratada com limites laterais.

Passo 6

Exemplo rápido para fixar a técnica (analogia): para \int \sin x\cos x\,dx podemos pôr u=\sin x, du=\cos x\,dx e obter \dfrac{1}{2}\sin^{2}x+C. A ideia é sempre procurar uma parte cuja derivada aparece multiplicando.

Resposta

\displaystyle \int \operatorname{tg}(x)\,\operatorname{sec}^{2}(x)\,dx=\frac{1}{2}\operatorname{tg}^{2}(x)+C
\displaystyle \int_{a}^{b}\operatorname{tg}(x)\,\operatorname{sec}^{2}(x)\,dx=\frac{1}{2}\big(\operatorname{tg}^{2}(b)-\operatorname{tg}^{2}(a)\big)

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