\text{Integrando: }\operatorname{tg}(x)\,\operatorname{sec}^{2}(x),\qquad\text{variável de integração: }x.
O enunciado não traz limites explícitos; portanto vou calcular a integral indefinida e também dar a expressão geral da integral definida entre dois pontos a e b (desde que \operatorname{tg} seja contínua no intervalo).
Passo 2
Ideia do método (aula rápida sobre substituição):
Quando a integral contém uma função g(x) e também o seu derivado g'(x), é eficaz fazer a substituição u=g(x).
Mais precisamente, se fizermos u=g(x) e du=g'(x)\,dx, então a integral em x vira uma integral em u: \int g'(x)g(x)\,dx=\int u\,du=\dfrac{u^{2}}{2}+C.
Aqui: sabemos que a derivada de \operatorname{tg}(x) é \operatorname{sec}^{2}(x). Logo a integranda tem a forma “função vezes derivada da função”, o cenário perfeito para u-substituição.
Passo 3
Aplicando a substituição passo a passo:
Faça u=\operatorname{tg}(x).
Então du=\operatorname{sec}^{2}(x)\,dx. (Isto é só a definição de derivada: \dfrac{d}{dx}\operatorname{tg}(x)=\operatorname{sec}^{2}(x).)
que é exatamente a integranda. Portanto a primitiva está correta.
Passo 5
Integral definida (aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo):
Se quisermos a integral definida entre a e b (em que \operatorname{tg} e \operatorname{sec}^{2} sejam contínuas no intervalo, ou seja, o intervalo não contenha pontos onde \operatorname{tg} não está definida), usamos a primitiva encontrada:
Observação importante: se o intervalo cruzar uma descontinuidade de \operatorname{tg} (por exemplo x=\tfrac{\pi}{2}+k\pi), a integral é imprópria e deve ser tratada com limites laterais.
Passo 6
Exemplo rápido para fixar a técnica (analogia): para \int \sin x\cos x\,dx podemos pôr u=\sin x, du=\cos x\,dx e obter \dfrac{1}{2}\sin^{2}x+C. A ideia é sempre procurar uma parte cuja derivada aparece multiplicando.