Questão 6) Calcule as integrais duplas abaixo:
\int_{0}^{1} \int_{-x}^{x}(4+y x) d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\int_{0}^{1} \int_{-x}^{x}(4+y x)\, dy\, dx.
Dados relevantes:
  • A função integranda é 4 + y x.
  • A integração interna é em y, com limites y=-x até y=x.
  • A integração externa é em x, com limites x=0 até x=1.
  • O objetivo é avaliar o valor numérico dessa integral iterada.

Passo 2

Observação sobre a ordem de integração e uma estratégia simples:
  • Esta é uma integral iterada do tipo "integrar primeiro em y, depois em x". Quando se integra em y mantendo x fixo, x deve ser tratado como constante.
  • Além disso, é útil notar que termos da forma x\cdot y podem integrar para zero se o intervalo em y for simétrico ([-x,x]), pois y\mapsto y é função ímpar. Vou mostrar isso calculando explicitamente.

Passo 3

Calcular a integral interna em y:
\int_{-x}^{x}(4+y x)\, dy
Separar em duas integrais:
\int_{-x}^{x}4\, dy \;+\; \int_{-x}^{x} x y\, dy.
Agora integrar termo a termo. Para o primeiro termo, a primitiva de 4 em y é 4y. Para o segundo termo, como x é constante em relação a y, a primitiva de x y em y é x\cdot \dfrac{y^{2}}{2}.

Passo 4

Avaliar as primitivas nos limites y=-x e y=x.
Para o primeiro termo:
\big[4y\big]_{-x}^{x}=4x-4(-x)=8x.
Para o segundo termo:
\left[x\cdot \frac{y^{2}}{2}\right]_{-x}^{x}=x\left(\frac{x^{2}}{2}-\frac{(-x)^{2}}{2}\right)=x\left(\frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{2}}{2}\right)=0.
Comentário didático: a segunda integral deu zero porque a função y\mapsto y (multiplicada por constante x) é ímpar e o intervalo [-x,x] é simétrico; integras de funções ímpares sobre intervalos simétricos resultam em zero.
Somando os resultados:
\int_{-x}^{x}(4+y x)\, dy = 8x + 0 = 8x.

Passo 5

Agora integrar o resultado em x no intervalo [0,1]:
\int_{0}^{1} 8x\, dx.
A primitiva de 8x em x é 8\cdot \dfrac{x^{2}}{2}=4x^{2}. Avaliando nos limites:
\big[4x^{2}\big]_{0}^{1}=4\cdot 1^{2}-4\cdot 0^{2}=4.

Passo 6

Recapitulando: a integral interna reduziu-se a 8x e a integral externa de 8x de 0 a 1 vale 4. Dica final: sempre que houver termos ímpares em uma variável integrada sobre um intervalo simétrico, aproveite a simetria para simplificar cálculos rapidamente (por exemplo, \int_{-a}^{a} y^3\,dy=0).

Resposta

4

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