Questão 6) Calcule as integrais duplas abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
Dados relevantes:
- A função integranda é
. - A integração interna é em
, com limites até . - A integração externa é em
, com limites até . - O objetivo é avaliar o valor numérico dessa integral iterada.
Passo 2
Observação sobre a ordem de integração e uma estratégia simples:
- Esta é uma integral iterada do tipo "integrar primeiro em
, depois em ". Quando se integra em mantendo fixo, deve ser tratado como constante. - Além disso, é útil notar que termos da forma
podem integrar para zero se o intervalo em for simétrico , pois é função ímpar. Vou mostrar isso calculando explicitamente.
Passo 3
Calcular a integral interna em
:
Separar em duas integrais:
Agora integrar termo a termo. Para o primeiro termo, a primitiva de
em
é
. Para o segundo termo, como
é constante em relação a
, a primitiva de
em
é
.
Passo 4
Avaliar as primitivas nos limites
e
.
Para o primeiro termo:
Para o primeiro termo:
Para o segundo termo:
Comentário didático: a segunda integral deu zero porque a função
(multiplicada por constante
) é ímpar e o intervalo
é simétrico; integras de funções ímpares sobre intervalos simétricos resultam em zero.
Somando os resultados:
Passo 5
Agora integrar o resultado em
no intervalo
:
A primitiva de
em
é
. Avaliando nos limites:
Passo 6
Recapitulando: a integral interna reduziu-se a
e a integral externa de
de
a
vale
. Dica final: sempre que houver termos ímpares em uma variável integrada sobre um intervalo simétrico, aproveite a simetria para simplificar cálculos rapidamente (por exemplo,
).