Questão 6) Calcule as integrais duplas abaixo:
\int_{1}^{3} \int_{1}^{2}\left(y^{3} x^{2}-4 x y^{2}+\frac{1}{y}\right) d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\int_{1}^{3} \int_{1}^{2}\left(y^{3} x^{2}-4 x y^{2}+\frac{1}{y}\right) d y d x.
Informações dadas e o que é pedido:
  • A variável interna (primeira integração) é y, com 1\le y\le2.
  • A variável externa (segunda integração) é x, com 1\le x\le3.
  • A função a integrar é f(x,y)=y^{3} x^{2}-4 x y^{2}+\dfrac{1}{y}.
  • A tarefa é calcular o valor numérico exato dessa integral dupla, avaliando primeiro a integral em y e depois em x.

Passo 2

Estratégia e lembretes práticos (como fazer na prova):
  • Quando integrar em y tratando x como constante, qualquer termo que contenha x é parâmetro constante nessa integração.
  • Fórmulas básicas que vamos usar:
    • Para n\neq -1: \displaystyle \int y^{n}\,dy=\frac{y^{n+1}}{n+1}+C. Aqui y é a variável de integração e n é um número.
    • Para o caso n=-1: \displaystyle \int \frac{1}{y}\,dy=\ln y + C.
  • Exemplo rápido para fixar ideia: \displaystyle \int (x^2 y^3)\,dy = x^2\int y^3\,dy = x^2\cdot\frac{y^4}{4}, porque x^2 é constante em relação a y.

Passo 3

Calcular a primitiva em y termo a termo:
  • Para o termo \displaystyle y^{3}x^{2}: tratar x^{2} como constante e usar \int y^{3}\,dy=\dfrac{y^{4}}{4}. Resultado: \displaystyle x^{2}\cdot\frac{y^{4}}{4}=\frac{x^{2}y^{4}}{4}.
  • Para o termo \displaystyle -4x y^{2}: -4x é constante em y e \int y^{2}\,dy=\dfrac{y^{3}}{3}. Resultado: \displaystyle -4x\cdot\frac{y^{3}}{3}=-\frac{4x\,y^{3}}{3}.
  • Para o termo \displaystyle \frac{1}{y}: \int \frac{1}{y}\,dy=\ln y.
Portanto a primitiva em y é
\frac{x^{2}y^{4}}{4}-\frac{4x\,y^{3}}{3}+\ln y.

Passo 4

Avaliar a primitiva entre y=1 e y=2 (isto fornece uma função de x):
  • Em y=2: \frac{x^{2}\cdot 2^{4}}{4}-\frac{4x\cdot 2^{3}}{3}+\ln 2 =\frac{x^{2}\cdot 16}{4}-\frac{4x\cdot 8}{3}+\ln 2 =4x^{2}-\frac{32x}{3}+\ln 2.
  • Em y=1: \frac{x^{2}\cdot 1^{4}}{4}-\frac{4x\cdot 1^{3}}{3}+\ln 1 =\frac{x^{2}}{4}-\frac{4x}{3}+0.
  • Subtraindo (valor em 2 menos valor em 1): F(x)=\left(4x^{2}-\frac{32x}{3}+\ln 2\right)-\left(\frac{x^{2}}{4}-\frac{4x}{3}\right).
Simplificando F(x):
F(x)=4x^{2}-\frac{x^{2}}{4}-\frac{32x}{3}+\frac{4x}{3}+\ln 2 =\frac{15}{4}x^{2}-\frac{28}{3}x+\ln 2.

Passo 5

Agora integrar F(x) em x de 1 a 3. Usar \int x^{n}\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}:
  • \displaystyle \int \frac{15}{4}x^{2}\,dx=\frac{15}{4}\cdot\frac{x^{3}}{3}=\frac{15}{12}x^{3}=\frac{5}{4}x^{3}.
  • \displaystyle \int -\frac{28}{3}x\,dx=-\frac{28}{3}\cdot\frac{x^{2}}{2}=-\frac{28}{6}x^{2}=-\frac{14}{3}x^{2}.
  • \displaystyle \int \ln 2\,dx=(\ln 2)\,x pois \ln 2 é constante.
Logo uma primitiva de F é
G(x)=\frac{5}{4}x^{3}-\frac{14}{3}x^{2}+(\ln 2)\,x.

Passo 6

Avaliar G(x) entre x=1 e x=3:
  • Em x=3: G(3)=\frac{5}{4}\cdot 27-\frac{14}{3}\cdot 9+3\ln 2 =\frac{135}{4}-42+3\ln 2 =-\frac{33}{4}+3\ln 2.
  • Em x=1: G(1)=\frac{5}{4}-\frac{14}{3}+\ln 2.
  • Subtraindo G(3)-G(1): \left(-\frac{33}{4}+3\ln 2\right)-\left(\frac{5}{4}-\frac{14}{3}+\ln 2\right) =-\frac{33}{4}-\frac{5}{4}+\frac{14}{3}+2\ln 2.
Calcule as frações:
-\frac{33}{4}-\frac{5}{4}=-\frac{38}{4}=-\frac{19}{2}, \qquad -\frac{19}{2}+\frac{14}{3}=-\frac{57}{6}+\frac{28}{6}=-\frac{29}{6}.
Portanto o resultado final é
-\frac{29}{6}+2\ln 2.

Passo 7

Interpretação final e dica de verificação rápida:
  • O resultado combina uma parte racional -\dfrac{29}{6} e uma parte logarítmica 2\ln 2.
  • Como checagem mental, os termos polinomiais dominaram a parte racional e o termo \dfrac{1}{y} gerou as constantes com \ln 2, o que é coerente.

Resposta

-\dfrac{29}{6}+2\ln 2

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