Questão 6) Calcule as integrais duplas abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
Informações dadas e o que é pedido:
- A variável interna (primeira integração) é
, com . - A variável externa (segunda integração) é
, com . - A função a integrar é
. - A tarefa é calcular o valor numérico exato dessa integral dupla, avaliando primeiro a integral em
e depois em .
Passo 2
Estratégia e lembretes práticos (como fazer na prova):
- Quando integrar em
tratando como constante, qualquer termo que contenha é parâmetro constante nessa integração. - Fórmulas básicas que vamos usar:
- Para
: . Aqui é a variável de integração e é um número. - Para o caso
: .
- Para
- Exemplo rápido para fixar ideia:
, porque é constante em relação a .
Passo 3
Calcular a primitiva em
termo a termo:
- Para o termo
: tratar como constante e usar . Resultado: - Para o termo
: é constante em e . Resultado: - Para o termo
:
Portanto a primitiva em
é
Passo 4
Avaliar a primitiva entre
e
(isto fornece uma função de
):
- Em
: - Em
: - Subtraindo (valor em
menos valor em ):
Simplificando
:
Passo 5
Agora integrar
em
de
a
. Usar
:
-
-
-
pois é constante.
Logo uma primitiva de
é
Passo 6
Avaliar
entre
e
:
- Em
: - Em
: - Subtraindo
:
Calcule as frações:
Portanto o resultado final é
Passo 7
Interpretação final e dica de verificação rápida:
- O resultado combina uma parte racional
e uma parte logarítmica . - Como checagem mental, os termos polinomiais dominaram a parte racional e o termo
gerou as constantes com , o que é coerente.