Questão 7) Calcule a área da região delimitada por 1 / 4 da circunferência centrada na origem de raio 6 .

Passo 1

O enunciado pede para calcular a área da região correspondente a um quarto (1/4) de uma circunferência centrada na origem com raio igual a 6.
Informações dadas:
  • Raio da circunferência: r=6.
  • A região considerada é exatamente \tfrac{1}{4} da circunferência (ou seja, um setor circular de ângulo igual a um quarto do círculo inteiro).
O que é pedido:
  • Calcular a área dessa região (área do quarto do círculo).

Passo 2

Lembrete prático e intuitivo: a área de um círculo completo de raio r é dada por
A_{\text{círculo}}=\pi r^{2}.í
Explicação rápida do porquê (intuição): o número \pi relaciona a circunferência com o diâmetro e aparece naturalmente na área porque, se “fatiarmos” o círculo em muitas fatias e reordenarmos, a área se aproxima de um retângulo cuja base é proporcional à circunferência 2\pi r e altura proporcional a r/2, levando a \pi r^{2}. Não precisa decorar só: a fórmula significa que área cresce com o quadrado do raio.

Passo 3

Como queremos apenas \tfrac{1}{4} do círculo, basta tomar um quarto da área total. Em termos matemáticos:
A_{\tfrac{1}{4}}=\tfrac{1}{4}\cdot A_{\text{círculo}}=\tfrac{1}{4}\cdot \pi r^{2}.í
Outra forma equivalente, se preferir ver por setor circular: um setor de ângulo \theta (em radianos) tem área
A_{\text{setor}}=\tfrac{1}{2}r^{2}\theta.
Para um quarto do círculo, \theta=\tfrac{\pi}{2}, então
A_{\text{setor}}=\tfrac{1}{2}r^{2}\cdot \tfrac{\pi}{2}=\tfrac{\pi r^{2}}{4},
o mesmo resultado acima.

Passo 4

Agora substituímos o valor do raio r=6 na fórmula \tfrac{1}{4}\pi r^{2}. Primeiro calcule r^{2}:
r^{2}=6^{2}=36.

Passo 5

Multiplicando:
A_{\tfrac{1}{4}}=\tfrac{1}{4}\cdot \pi \cdot 36 = 9\pi.

Passo 6

Interpretação final rápida: a área da região pedida é 9\pi. Se quiser um valor aproximado para ter uma ideia numérica, usando \pi\approx3{,}1416 daria aproximadamente 9\pi\approx28{,}274, mas a resposta exata é 9\pi.

Resposta

9\pi

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