Verifique que as hipóteses do Teorema de Lagrange ou Teorema do Valor Médio são satisfafeit pela função f no intervalo I. Em seguida, obtenha um c \in I que satisfaça a tese do teorema.
f(x)=\sqrt{100-x^{2}} e I=[-8,6]

Passo 1

O enunciado pede para verificar as hipóteses do Teorema de Lagrange (Teorema do Valor Médio) para a função \,f(x)=\sqrt{100-x^{2}}\, no intervalo \,I=[-8,6], e em seguida encontrar um c\in I tal que
f'\text{(c)}=\frac{f(6)-f(-8)}{6-(-8)}.
Para isso vamos mostrar que f é contínua em [-8,6], derivável em (-8,6), calcular a taxa média de variação e depois resolver a equação para c.

Passo 2

A função \sqrt{u} é contínua e derivável em (0,\infty), e u(x)=100-x^{2} é polinomial (logo contínua e derivável em toda parte). Como para todo x\in[-8,6] temos x^{2}\le100, o domínio de f contém o intervalo dado. Portanto f é contínua em [-8,6] e derivável em (-8,6).

Passo 3

Calculamos os valores nos extremos:
f(-8)=\sqrt{100-(-8)^{2}}=\sqrt{36}=6,
f(6)=\sqrt{100-6^{2}}=\sqrt{64}=8.
A taxa média de variação em [-8,6] é
\frac{f(6)-f(-8)}{6-(-8)} =\frac{8-6}{14} =\frac{2}{14} =\frac{1}{7}.

Passo 4

Derivamos f em (-8,6) usando a regra da cadeia:
f'(x) =\frac{d}{dx}\bigl(100-x^{2}\bigr)^{1/2} =\frac{1}{2\sqrt{100-x^{2}}}\cdot(-2x) =-\frac{x}{\sqrt{100-x^{2}}}.

Passo 5

Igualamos f'\text{(c)} à taxa média:
-\frac{c}{\sqrt{100-c^{2}}}=\frac{1}{7}.
Multiplicando em cruz e elevando ao quadrado, vem
49c^{2}=100-c^{2} \quad\Longrightarrow\quad 50c^{2}=100 \quad\Longrightarrow\quad c^{2}=2 \quad\Longrightarrow\quad c=\pm\sqrt{2}.
Como f'\text{(c)}=1/7>0 e f'(x)=-x/\sqrt{100-x^{2}}, precisamos de -c>0, ou seja c<0. Logo
c=-\sqrt{2}.

Resposta

c=-\sqrt{2}

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