Questão 1: Calcule as integrais.
\int_{0}^{2} \frac{1}{2}+\frac{4}{x^{3}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{0}^{2}\left(\frac{1}{2}+\frac{4}{x^{3}}\right)\,dx.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • O integrando é a soma de duas funções: a constante \tfrac{1}{2} e a função \tfrac{4}{x^{3}}.
  • O intervalo de integração é [0,2].
  • Observação importante: a função \tfrac{4}{x^{3}} não está definida em x=0 (há uma singularidade em 0). Portanto trata‑se de uma integral imprópria e precisamos tratar o comportamento quando x se aproxima de 0.

Passo 2

Plano de resolução (sem ainda calcular): como há singularidade em x=0, vamos separar a integral em duas parcelas e tratar a parte singular como integral imprópria, usando um limite. Escrevemos
\int_{0}^{2}\left(\frac{1}{2}+\frac{4}{x^{3}}\right)\,dx = \int_{0}^{2}\frac{1}{2}\,dx + \int_{0}^{2}\frac{4}{x^{3}}\,dx,
e avaliamos cada termo; o segundo termo será tratado como \displaystyle\lim_{a\to0^{+}}\int_{a}^{2}\frac{4}{x^{3}}\,dx.

Passo 3

Calcule a primeira parcela (a parte fácil): a regra para integral de constante diz que \displaystyle\int c\,dx = c x, onde c é constante.
Portanto
\int_{0}^{2}\frac{1}{2}\,dx = \left.\frac{1}{2}x\right|_{0}^{2} = \frac{1}{2}\cdot 2 - \frac{1}{2}\cdot 0 = 1.

Passo 4

Trate a segunda parcela como integral imprópria. Escrevemos
\int_{0}^{2}\frac{4}{x^{3}}\,dx = \lim_{a\to 0^{+}}\int_{a}^{2}\frac{4}{x^{3}}\,dx.
Usamos a regra da potência para antiderivada: para n\neq -1,
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}.
Aqui x^{-3} tem n=-3, então
\int x^{-3}\,dx = \frac{x^{-2}}{-2} = -\frac{1}{2}x^{-2}.
Multiplicando por 4,
\int \frac{4}{x^{3}}\,dx = 4\cdot\left(-\frac{1}{2}x^{-2}\right) = -2x^{-2} = -\frac{2}{x^{2}}.
Agora avaliamos o integral definido de a a 2:
\int_{a}^{2}\frac{4}{x^{3}}\,dx = \left.-\frac{2}{x^{2}}\right|_{a}^{2} = -\frac{2}{2^{2}} - \left(-\frac{2}{a^{2}}\right) = -\frac{1}{2} + \frac{2}{a^{2}}.
Tomando o limite a\to 0^{+},
\lim_{a\to 0^{+}}\left(-\frac{1}{2} + \frac{2}{a^{2}}\right) = +\infty,
pois \dfrac{2}{a^{2}}\to +\infty quando a\to0^{+}. Assim a segunda parcela diverge para +\infty.

Passo 5

Conclusão: a integral total é a soma de uma parcela finita ( 1) com uma parcela que diverge para +\infty; portanto a integral imprópria original diverge para +\infty. (Observação útil para provas: em geral \displaystyle\int_{0}^{1}x^{-p}\,dx converge se, e somente se, p<1. Aqui temos p=3>1, logo diverge — isso confirma nosso resultado.)

Resposta

\displaystyle +\infty

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