Questão 2: Seja R a região plana que está entre as retas
e
e entre os gráficos das funções
e
. Calcule a área de R.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a área da região plana
que está entre as retas
e
e entre os gráficos das funções
e
.\n
Informações dadas e o que precisa ser encontrado:\n
Informações dadas e o que precisa ser encontrado:\n
- As retas verticais que limitam em
são e .\n - As duas curvas que limitam em
são e .\n - A tarefa é encontrar a área da região
que fica simultaneamente entre essas quatro fronteiras.\n
Observação importante: pode ser que, entree , uma das curvas fique por cima da outra em certas partes e troque de posição em outras. Precisamos identificar essas trocas (pontos de interseção) para montar os integrais corretamente.
Passo 2
Vamos encontrar os pontos de interseção entre
e
resolvendo
.\n
Desenvolvendo:\n
Desenvolvendo:\n
Essa é uma equação quadrática. Podemos fatorar:\n
Logo as raízes são
e
.\n
Portanto e
se intersectam em
e
. Note que
está dentro do intervalo entre as retas verticais e
também está entre
e
. Isso indica que a ordem das curvas pode mudar em
.
Portanto
Passo 3
Precisamos saber qual das funções está acima (maior
) em cada subintervalo para aplicar a fórmula área = integral da função superior menos a inferior.\n
Teste em um ponto de entre
e
, por exemplo
:\n
Teste em um ponto de
Como
, em
a função superior é
e a inferior é
.\n
Teste em um ponto entre e
, por exemplo
:\n
Teste em um ponto entre
Aqui
, então em
a função superior é
e a inferior é
.\n
Conclusão: devemos dividir a área em dois pedaços nos pontos de quebra em . Entre
e
integrará
. Entre
e
integrará
.
Conclusão: devemos dividir a área em dois pedaços nos pontos de quebra em
Passo 4
Apresento a fórmula/ideia usada (passo-a-passo didático):\n
- A área entre duas curvas
e em um intervalo é\n
- Aqui identificamos
e em cada subintervalo e somamos as áreas parciais.\n
No nosso caso:\n
Substituindo
e
:\n
Passo 5
Calcule a primeira integral
.\n
Antiderivada (integração termo a termo):\n
Antiderivada (integração termo a termo):\n
Avaliaremos entre
e
:\n
Valor em :\n
Valor em
Colocando em denominador comum
:\n
Valor em
:\n
Diferença (valor em
menos valor em
):\n
Portanto a primeira área parcial é
.
Passo 6
Calcule a segunda integral
.\n
Antiderivada:\n
Antiderivada:\n
Avalie entre
e
:\n
Valor em :\n
Valor em
Valor em
:\n
Denominador comum
:\n
Diferença (valor em
menos valor em
):\n
Portanto a segunda área parcial é
.
Passo 7
Some as duas parcelas de área para obter a área total:\n
Colocando em denominador comum
:\n
Portanto a área da região
é
. Eu sei que deu muita conta, mas você conseguiu acompanhar: identificamos interseções, definimos quem é superior em cada intervalo, montamos integrais e somamos. Boa!