Questão 2: Seja R a região plana que está entre as retas x=-2 e x=2 e entre os gráficos das funções f(x)=x^{2}+1 e g(x)=-x+3. Calcule a área de R.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a área da região plana R que está entre as retas x=-2 e x=2 e entre os gráficos das funções f(x)=x^{2}+1 e g(x)=-x+3.\n
Informações dadas e o que precisa ser encontrado:\n
  • As retas verticais que limitam em x são x=-2 e x=2.\n
  • As duas curvas que limitam em y são f(x)=x^{2}+1 e g(x)=-x+3.\n
  • A tarefa é encontrar a área da região R que fica simultaneamente entre essas quatro fronteiras.\n
    Observação importante: pode ser que, entre x=-2 e x=2, uma das curvas fique por cima da outra em certas partes e troque de posição em outras. Precisamos identificar essas trocas (pontos de interseção) para montar os integrais corretamente.

Passo 2

Vamos encontrar os pontos de interseção entre f e g resolvendo \;x^{2}+1=-x+3.\n
Desenvolvendo:\n
x^{2}+1 = -x+3\n
x^{2}+x-2=0\n
Essa é uma equação quadrática. Podemos fatorar:\n
x^{2}+x-2=(x+2)(x-1)\n
Logo as raízes são \;x=-2 e \;x=1.\n
Portanto f e g se intersectam em \;x=-2 e \;x=1. Note que \;x=-2 está dentro do intervalo entre as retas verticais e \;x=1 também está entre \;x=-2 e \;x=2. Isso indica que a ordem das curvas pode mudar em \;x=1.

Passo 3

Precisamos saber qual das funções está acima (maior y) em cada subintervalo para aplicar a fórmula área = integral da função superior menos a inferior.\n
Teste em um ponto de \;x entre \;-2 e \;1, por exemplo \;x=0:\n
f(0)=0^{2}+1=1,\qquad g(0)=-0+3=3\n
Como \;g(0)=3>f(0)=1, em \;(-2,1) a função superior é \;g e a inferior é \;f.\n
Teste em um ponto entre \;1 e \;2, por exemplo \;x=1{,}5:\n
f(1{,}5)=1{,}5^{2}+1=2{,}25+1=3{,}25, \qquad g(1{,}5)=-1{,}5+3=1{,}5\n
Aqui \;f(1{,}5)=3{,}25>g(1{,}5)=1{,}5, então em \;(1,2) a função superior é \;f e a inferior é \;g.\n
Conclusão: devemos dividir a área em dois pedaços nos pontos de quebra em x=-2,\;x=1,\;x=2. Entre \;x=-2 e \;x=1 integrará \;g-f. Entre \;x=1 e \;x=2 integrará \;f-g.

Passo 4

Apresento a fórmula/ideia usada (passo-a-passo didático):\n
  • A área entre duas curvas y=y_{\text{sup}}(x) e y=y_{\text{inf}}(x) em um intervalo [a,b] é\n
\text{Área}=\int_{a}^{b}\bigl(y_{\text{sup}}(x)-y_{\text{inf}}(x)\bigr)\,dx.Á\n
  • Aqui identificamos y_{\text{sup}} e y_{\text{inf}} em cada subintervalo e somamos as áreas parciais.\n
    No nosso caso:\n
\text{Área}(R)=\int_{-2}^{1}\bigl(g(x)-f(x)\bigr)\,dx+\int_{1}^{2}\bigl(f(x)-g(x)\bigr)\,dx.Á\n
Substituindo f e g:\n
g(x)-f(x)=(-x+3)-(x^{2}+1)=-x^{2}-x+2,\n
f(x)-g(x)=(x^{2}+1)-(-x+3)=x^{2}+x-2.

Passo 5

Calcule a primeira integral \displaystyle \int_{-2}^{1}(-x^{2}-x+2)\,dx.\n
Antiderivada (integração termo a termo):\n
\int(-x^{2}-x+2)\,dx=-\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{2}}{2}+2x + C.\n
Avaliaremos entre \;x=-2 e \;x=1:\n
Valor em \;x=1:\n
-\frac{1^{3}}{3}-\frac{1^{2}}{2}+2\cdot1=-\frac{1}{3}-\frac{1}{2}+2.\n
Colocando em denominador comum 6:\n
-\frac{1}{3}-\frac{1}{2}+2=-\frac{2}{6}-\frac{3}{6}+\frac{12}{6}=\frac{7}{6}.\n
Valor em \;x=-2:\n
-\frac{(-2)^{3}}{3}-\frac{(-2)^{2}}{2}+2\cdot(-2)=-\frac{-8}{3}-\frac{4}{2}-4\n
=-\bigl(-\frac{8}{3}\bigr)-2-4=\frac{8}{3}-6=\frac{8-18}{3}=-\frac{10}{3}.\n
Diferença (valor em 1 menos valor em -2):\n
\frac{7}{6}-\bigl(-\frac{10}{3}\bigr)=\frac{7}{6}+\frac{10}{3}=\frac{7}{6}+\frac{20}{6}=\frac{27}{6}=\frac{9}{2}.\n
Portanto a primeira área parcial é \displaystyle \frac{9}{2}.

Passo 6

Calcule a segunda integral \displaystyle \int_{1}^{2}(x^{2}+x-2)\,dx.\n
Antiderivada:\n
\int(x^{2}+x-2)\,dx=\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{2}}{2}-2x + C.\n
Avalie entre \;x=1 e \;x=2:\n
Valor em \;x=2:\n
\frac{2^{3}}{3}+\frac{2^{2}}{2}-2\cdot2=\frac{8}{3}+ \frac{4}{2}-4=\frac{8}{3}+2-4=\frac{8}{3}-2=\frac{8-6}{3}=\frac{2}{3}.\n
Valor em \;x=1:\n
\frac{1^{3}}{3}+\frac{1^{2}}{2}-2\cdot1=\frac{1}{3}+\frac{1}{2}-2.\n
Denominador comum 6:\n
\frac{1}{3}+\frac{1}{2}-2=\frac{2}{6}+\frac{3}{6}-\frac{12}{6}=-\frac{7}{6}.\n
Diferença (valor em 2 menos valor em 1):\n
\frac{2}{3}-\bigl(-\frac{7}{6}\bigr)=\frac{2}{3}+\frac{7}{6}=\frac{4}{6}+\frac{7}{6}=\frac{11}{6}.\n
Portanto a segunda área parcial é \displaystyle \frac{11}{6}.

Passo 7

Some as duas parcelas de área para obter a área total:\n
\text{Área}(R)=\frac{9}{2}+\frac{11}{6}.Á\n
Colocando em denominador comum 6:\n
\frac{9}{2}=\frac{27}{6},\qquad \frac{27}{6}+\frac{11}{6}=\frac{38}{6}=\frac{19}{3}.\n
Portanto a área da região R é \displaystyle \frac{19}{3}. Eu sei que deu muita conta, mas você conseguiu acompanhar: identificamos interseções, definimos quem é superior em cada intervalo, montamos integrais e somamos. Boa!

Resposta

\dfrac{19}{3}

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