Questão 3: Explique resumidamente o método da substituição simples para integrais indefinidas com as suas palavras. Solucione a integral
e use essa solução como exemplo na explicação.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) explicar resumidamente, com minhas palavras, o método da substituição simples para integrais indefinidas; (2) resolver a integral
e usar essa solução como exemplo na explicação.
Informações dadas: a integral a ser calculada é . Nada mais é fornecido.
Informações dadas: a integral a ser calculada é
Passo 2
Ideia central (em palavras simples): a substituição simples transforma uma integral complicada em outra mais fácil ao trocar a variável
por uma nova variável
. Funciona bem quando a integranda é uma composição de funções, tipo
, e aparece junto o fator
(ou algo proporcional a ele). A substituição é, na prática, a “inversão” da regra da cadeia da diferenciação. A fórmula que usamos é:
Explicando cada símbolo:
é a função interna (o “dentro”),
é a função externa (o “fora”),
é a nova variável que substitui
,
é a diferencial correspondente a
e
é a derivada de
em relação a
. O objetivo é que após a troca a integral vire uma integral em
que você saiba calcular.
Passo 3
Regra prática para escolher
: procure o “pedaço” dentro de outra função (por exemplo, o argumento de um seno, cosseno, exponencial, potência, etc.). Se a derivada desse pedaço aparece multiplicando ou é proporcional ao resto da integranda, é um bom candidato para
. No nosso integral
o argumento do cosseno é
, então tentamos
.
Passo 4
Fazendo a substituição: escolha
Agora calcule
diferenciando ambos os lados em relação a
:
Isso significa que o produto
que aparece na integral pode ser expresso em termos de
. Isolamos
:
Expliquei: dividir por
em ambos os lados para obter
em função de
.
Passo 5
Substitua na integral original: onde estava
coloque
, e onde estava
coloque
. Assim
Fatorando a constante
para fora da integral:
Passo 6
Integre em
: sabemos que a primitiva de
é
, pois
. Então
sendo
a constante de integração.
Passo 7
Volte à variável original
fazendo a substituição inversa
:
Pronto: esta é a primitiva procurada.
Passo 8
Verificação (confirmação rápida): derivamos o resultado para checar se recuperamos a integranda. Diferenciando
usando regra da cadeia:
que é exatamente a integranda. Portanto a primitiva está correta.
Passo 9
Dicas práticas para a prova (curtas e úteis):
- Sempre procure um “argumento interno” (como
em ). Se aparecer seu derivado multiplicando, faça igual a esse argumento. - Se o derivado não aparece, veja se dá para multiplicar e dividir por uma constante (ex.: se tivesse
em vez de , a constante sai). - Nem toda integral com composição tem primitiva elemental (por exemplo
não tem primitiva em termos de funções elementares), então a presença do fator que corresponde ao derivado do argumento é essencial para poder aplicar a substituição simples com sucesso.