Questão 3: Explique resumidamente o método da substituição simples para integrais indefinidas com as suas palavras. Solucione a integral \int x \cos \left(x^{2}\right) d x e use essa solução como exemplo na explicação.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) explicar resumidamente, com minhas palavras, o método da substituição simples para integrais indefinidas; (2) resolver a integral \int x \cos\left(x^{2}\right)\,dx e usar essa solução como exemplo na explicação.
Informações dadas: a integral a ser calculada é \displaystyle \int x \cos\left(x^{2}\right)\,dx. Nada mais é fornecido.

Passo 2

Ideia central (em palavras simples): a substituição simples transforma uma integral complicada em outra mais fácil ao trocar a variável x por uma nova variável u. Funciona bem quando a integranda é uma composição de funções, tipo f(g(x)), e aparece junto o fator g'(x) (ou algo proporcional a ele). A substituição é, na prática, a “inversão” da regra da cadeia da diferenciação. A fórmula que usamos é:
\text{se } u=g(x),\quad \text{então } du=g'(x)\,dx \quad\text{e}\quad \int f(g(x))\,g'(x)\,dx=\int f(u)\,du.ã
Explicando cada símbolo: g(x) é a função interna (o “dentro”), f é a função externa (o “fora”), u é a nova variável que substitui g(x), du é a diferencial correspondente a u e g'(x) é a derivada de g em relação a x. O objetivo é que após a troca a integral vire uma integral em u que você saiba calcular.

Passo 3

Regra prática para escolher u: procure o “pedaço” dentro de outra função (por exemplo, o argumento de um seno, cosseno, exponencial, potência, etc.). Se a derivada desse pedaço aparece multiplicando ou é proporcional ao resto da integranda, é um bom candidato para u. No nosso integral \displaystyle \int x \cos\left(x^{2}\right)\,dx o argumento do cosseno é x^{2}, então tentamos u=x^{2}.

Passo 4

Fazendo a substituição: escolha
u = x^{2}.
Agora calcule du diferenciando ambos os lados em relação a x:
du = 2x\,dx.
Isso significa que o produto x\,dx que aparece na integral pode ser expresso em termos de du. Isolamos x\,dx:
x\,dx = \frac{1}{2}\,du.
Expliquei: dividir por 2 em ambos os lados para obter x\,dx em função de du.

Passo 5

Substitua na integral original: onde estava x^{2} coloque u, e onde estava x\,dx coloque \frac{1}{2}du. Assim
\int x \cos\left(x^{2}\right)\,dx = \int \cos(u)\left(\frac{1}{2}\,du\right).
Fatorando a constante \tfrac{1}{2} para fora da integral:
\int x \cos\left(x^{2}\right)\,dx = \frac{1}{2}\int \cos(u)\,du.

Passo 6

Integre em u: sabemos que a primitiva de \cos(u) é \sin(u), pois \frac{d}{du}\sin(u)=\cos(u). Então
\frac{1}{2}\int \cos(u)\,du = \frac{1}{2}\sin(u) + C,
sendo C a constante de integração.

Passo 7

Volte à variável original x fazendo a substituição inversa u=x^{2}:
\frac{1}{2}\sin(u) + C = \frac{1}{2}\sin\left(x^{2}\right) + C.
Pronto: esta é a primitiva procurada.

Passo 8

Verificação (confirmação rápida): derivamos o resultado para checar se recuperamos a integranda. Diferenciando \displaystyle \frac{1}{2}\sin\left(x^{2}\right) usando regra da cadeia:
\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}\sin\left(x^{2}\right)\right) = \frac{1}{2}\cos\left(x^{2}\right)\cdot 2x = x\cos\left(x^{2}\right),
que é exatamente a integranda. Portanto a primitiva está correta.

Passo 9

Dicas práticas para a prova (curtas e úteis):
  • Sempre procure um “argumento interno” (como x^{2} em \cos(x^{2})). Se aparecer seu derivado multiplicando, faça u igual a esse argumento.
  • Se o derivado não aparece, veja se dá para multiplicar e dividir por uma constante (ex.: se tivesse 2x em vez de x, a constante sai).
  • Nem toda integral com composição tem primitiva elemental (por exemplo \int \cos(x^{2})\,dx não tem primitiva em termos de funções elementares), então a presença do fator que corresponde ao derivado do argumento é essencial para poder aplicar a substituição simples com sucesso.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{2}\sin\left(x^{2}\right)+C

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