Questão 1: Calcule as integrais.
\int_{3}^{4} \frac{-25}{x^{2} \sqrt{25-x^{2}}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{3}^{4} \frac{-25}{x^{2}\sqrt{25-x^{2}}}\,dx.
Informações dadas:
  • O integrando é \displaystyle \frac{-25}{x^{2}\sqrt{25-x^{2}}}.
  • Os limites de integração são x=3 (inferior) e x=4 (superior).
  • A pergunta é: qual é o valor numérico dessa integral definida?

Passo 2

Observação didática sobre a forma do integrando (por que usar substituição trigonométrica).
  • A presença de \sqrt{25-x^{2}} lembra a forma \sqrt{a^{2}-x^{2}} com a=5. Para esse tipo de expressão, uma escolha padrão e muito útil é usar a substituição trigonométrica
x = 5\sin\theta,
porque então \sqrt{25-x^{2}}=\sqrt{25-25\sin^{2}\theta}=5\cos\theta (assumindo \cos\theta\ge0 na faixa que nos interessa).
  • Vou usar essa substituição porque simplifica muito a raiz e geralmente transforma a integral numa função trigonométrica simples.

Passo 3

Fazer a substituição e transformar diferencial e limites.
  • Tome \displaystyle x = 5\sin\theta. Então
dx = 5\cos\theta\,d\theta.
  • A raiz fica
\sqrt{25-x^{2}} = 5\cos\theta.
  • Os quadrados aparecem também: x^{2} = 25\sin^{2}\theta.
  • Agora transformar os limites: quando x=3,
\sin\theta_{1}=\frac{3}{5}\quad\Rightarrow\quad \theta_{1}=\arcsin\!\left(\frac{3}{5}\right).
Quando x=4,
\sin\theta_{2}=\frac{4}{5}\quad\Rightarrow\quad \theta_{2}=\arcsin\!\left(\frac{4}{5}\right).

Passo 4

Substituir na integral e simplificar passo a passo.
Começamos com
\int_{3}^{4}\frac{-25}{x^{2}\sqrt{25-x^{2}}}\,dx.
Substituindo x=5\sin\theta e dx=5\cos\theta\,d\theta:
\int_{\theta_{1}}^{\theta_{2}} \frac{-25}{(25\sin^{2}\theta)(5\cos\theta)}\cdot(5\cos\theta)\,d\theta.
Agora simplificamos fatores iguais no numerador e denominador:
  • No denominador temos 25\sin^{2}\theta\cdot 5\cos\theta = 125\sin^{2}\theta\cos\theta.
  • Multiplicando pelo 5\cos\theta do dx no numerador dá -25\cdot5\cos\theta = -125\cos\theta.
    Assim o integrando vira
\frac{-125\cos\theta}{125\sin^{2}\theta\cos\theta}\,d\theta = -\frac{1}{\sin^{2}\theta}\,d\theta.
Portanto a integral ficou
\int_{\theta_{1}}^{\theta_{2}} -\csc^{2}\theta\,d\theta.

Passo 5

Explicar a primitiva de -\csc^{2}\theta e integrar.
  • Lembre que a derivada da função \cot\theta é \dfrac{d}{d\theta}\cot\theta = -\csc^{2}\theta.
  • Isso significa que uma primitiva de -\csc^{2}\theta é \cot\theta.
    Logo
\int_{\theta_{1}}^{\theta_{2}} -\csc^{2}\theta\,d\theta = \left.\cot\theta\right|_{\theta_{1}}^{\theta_{2}} = \cot\theta_{2}-\cot\theta_{1}.

Passo 6

Calcular \cot\theta nos ângulos transformados usando triângulos retângulos.
  • Para \theta_{2}=\arcsin\!\left(\frac{4}{5}\right): construa um triângulo retângulo com cateto oposto 4 e hipotenusa 5. O cateto adjacente é \sqrt{5^{2}-4^{2}}=\sqrt{25-16}=\sqrt{9}=3. Logo
\cot\theta_{2}=\frac{\cos\theta_{2}}{\sin\theta_{2}}=\frac{3/5}{4/5}=\frac{3}{4}.
  • Para \theta_{1}=\arcsin\!\left(\frac{3}{5}\right): triângulo com cateto oposto 3 e hipotenusa 5. O cateto adjacente é \sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4. Assim
\cot\theta_{1}=\frac{\cos\theta_{1}}{\sin\theta_{1}}=\frac{4/5}{3/5}=\frac{4}{3}.

Passo 7

Subtrair e simplificar o resultado final.
\cot\theta_{2}-\cot\theta_{1}=\frac{3}{4}-\frac{4}{3}.
Calcule com denominador comum 12:
\frac{3}{4}-\frac{4}{3}=\frac{9-16}{12}=\frac{-7}{12}.
Esse é o valor da integral definida.

Resposta

-\frac{7}{12}

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