Questão 1: Calcule as integrais.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Informações dadas:
- O integrando é
. - Os limites de integração são
(inferior) e (superior). - A pergunta é: qual é o valor numérico dessa integral definida?
Passo 2
Observação didática sobre a forma do integrando (por que usar substituição trigonométrica).
- A presença de
lembra a forma com . Para esse tipo de expressão, uma escolha padrão e muito útil é usar a substituição trigonométrica
porque então
(assumindo
na faixa que nos interessa).
- Vou usar essa substituição porque simplifica muito a raiz e geralmente transforma a integral numa função trigonométrica simples.
Passo 3
Fazer a substituição e transformar diferencial e limites.
- Tome
. Então
- A raiz fica
- Os quadrados aparecem também:
. - Agora transformar os limites: quando
,
Quando
,
Passo 4
Substituir na integral e simplificar passo a passo.
Começamos com
Começamos com
Substituindo
e
:
Agora simplificamos fatores iguais no numerador e denominador:
- No denominador temos
. - Multiplicando pelo
do no numerador dá .
Assim o integrando vira
Portanto a integral ficou
Passo 5
Explicar a primitiva de
e integrar.
- Lembre que a derivada da função
é . - Isso significa que uma primitiva de
é .
Logo
Passo 6
Calcular
nos ângulos transformados usando triângulos retângulos.
- Para
: construa um triângulo retângulo com cateto oposto e hipotenusa . O cateto adjacente é . Logo
- Para
: triângulo com cateto oposto e hipotenusa . O cateto adjacente é . Assim
Passo 7
Subtrair e simplificar o resultado final.
Calcule com denominador comum
:
Esse é o valor da integral definida.