Questão. Calcule as integrais.
\int x^{2} \sqrt{2+x} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\displaystyle \int x^{2}\sqrt{2+x}\,dx.
Esse é um problema de antiderivada envolvendo uma raiz de expressão linear, e a técnica mais prática aqui é a substituição.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = x + 2,
de onde segue
du = dx \quad\text{e}\quad x = u - 2.

Passo 3

Substituindo em \int x^{2}\sqrt{2+x}\,dx temos
\int (u - 2)^{2}\,\sqrt{u}\,du.
Expandindo (u-2)^{2} = u^{2} - 4u + 4 e lembrando que \sqrt{u}=u^{1/2}, obtemos
\int \bigl(u^{2}-4u+4\bigr)\,u^{1/2}\,du = \int \bigl(u^{5/2} - 4u^{3/2} + 4u^{1/2}\bigr)\,du.

Passo 4

Integramos cada termo separadamente:
\int u^{5/2}\,du = \frac{u^{7/2}}{7/2} = \frac{2}{7}\,u^{7/2},
\int u^{3/2}\,du = \frac{u^{5/2}}{5/2} = \frac{2}{5}\,u^{5/2},
\int u^{1/2}\,du = \frac{u^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3}\,u^{3/2}.
Portanto,
\int \bigl(u^{5/2} - 4u^{3/2} + 4u^{1/2}\bigr)\,du = \frac{2}{7}u^{7/2} -4\cdot\frac{2}{5}u^{5/2} +4\cdot\frac{2}{3}u^{3/2} + C.

Passo 5

Voltando à variável original x com u = x+2, a antiderivada fica
\frac{2}{7}(x+2)^{7/2} - \frac{8}{5}(x+2)^{5/2} + \frac{8}{3}(x+2)^{3/2} + C.

Resposta

\frac{2}{7}(x+2)^{7/2} - \frac{8}{5}(x+2)^{5/2} + \frac{8}{3}(x+2)^{3/2} + C.

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