Questão. Calcule as integrais.
\int_{0}^{1} x e^{-2 x} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{1} x e^{-2x}\,dx.
O conteúdo principal aqui é o método de integração por partes, baseado na fórmula
\int u\,dv = uv - \int v\,du.

Passo 2

Escolhemos
u = x, \quad dv = e^{-2x}\,dx.
Dessa forma
du = dx, \quad v = \int e^{-2x}\,dx = -\tfrac{1}{2}e^{-2x}.

Passo 3

Aplicando a fórmula de integração por partes, temos
\int_{0}^{1} x e^{-2x}\,dx = \bigl[\,u\,v\bigr]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} v\,du = \left[x\Bigl(-\tfrac{1}{2}e^{-2x}\Bigr)\right]_{0}^{1} - \int_{0}^{1}\Bigl(-\tfrac{1}{2}e^{-2x}\Bigr)\,dx.

Passo 4

Calculando cada termo separadamente:
O termo de fronteira é
\left[x\Bigl(-\tfrac{1}{2}e^{-2x}\Bigr)\right]_{0}^{1} = -\tfrac{1}{2}\bigl(1\cdot e^{-2}-0\bigr) = -\tfrac{1}{2}e^{-2}.
O integral restante fica
-\int_{0}^{1}\Bigl(-\tfrac{1}{2}e^{-2x}\Bigr)\,dx = \tfrac{1}{2}\int_{0}^{1}e^{-2x}\,dx = \tfrac{1}{2}\Bigl[-\tfrac{1}{2}e^{-2x}\Bigr]_{0}^{1} = \tfrac{1}{2}\Bigl(-\tfrac{1}{2}e^{-2}+\tfrac{1}{2}\Bigr) = \tfrac{1}{4}(1-e^{-2}).

Passo 5

Somando os resultados:
\int_{0}^{1} x e^{-2x}\,dx = -\tfrac{1}{2}e^{-2} + \tfrac{1}{4}(1-e^{-2}) = \tfrac{1}{4} - \tfrac{3}{4}e^{-2}.

Resposta

\int_{0}^{1} x e^{-2x}\,dx = \tfrac{1}{4} - \tfrac{3}{4}e^{-2}.

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