Considere a função f(t) tal que ela vale \sin t se 0 \leq t<\pi e vale \cos t se \pi \leq t<2 \pi e vale e^{-t / 10} se t \geq 2 \pi. Expresse f em termos das funções degraus. E calcule a transformada de Laplace de f.

Passo 1

O enunciado define a função por partes
0<=t< \pi: f(t) =sin t
\pi<=t< 2\pi: f(t) =cos t
t >=2\pi: f(t) = e^{-t/10}
O conteúdo envolve representação usando a função degrau u(t–a) e cálculo da transformada de Laplace aplicando linearidade e o teorema do deslocamento.

Passo 2

Para montar f(t) com degraus, note que antes de \pi vale sin t, entre \pi e 2\pi substitui-se por cos t e a partir de 2\pi por e^{-t/10}. Uma forma compacta é
f(t)=\sin t +\bigl(\cos t - \sin t\bigr)\,u(t-\pi) +\bigl(e^{-t/10}-\cos t\bigr)\,u(t-2\pi).

Passo 3

Pela linearidade e pelo teorema do deslocamento u(t-a),
F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\} =\mathcal{L}\{\sin t\} +\mathcal{L}\{(\cos t-\sin t)\,u(t-\pi)\} +\mathcal{L}\{(e^{-t/10}-\cos t)\,u(t-2\pi)\}.
Sabemos que
\mathcal{L}\{\sin t\}=\frac{1}{s^{2}+1},\quad \mathcal{L}\{\cos t\}=\frac{s}{s^{2}+1},\quad \mathcal{L}\{e^{-t/10}\}=\frac{1}{s+\tfrac{1}{10}}.
E o teorema do deslocamento diz que, se g(t)\,u(t-a) é escrito como G(\tau)\,u(\tau) com \tau=t-a, então
\mathcal{L}\{g(t)\,u(t-a)\} =e^{-a s}\,\mathcal{L}\{G(\tau)\}.

Passo 4

Primeiro termo:
\mathcal{L}\{\sin t\}=\frac{1}{s^{2}+1}.
Segundo termo ( a=\pi): definimos \tau=t-\pi,
G_{1}(\tau) =(\cos(\tau+\pi)-\sin(\tau+\pi)) =-\cos\tau+\sin\tau,
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\mathcal{L}\{(\cos t-\sin t)\,u(t-\pi)\} =e^{-\pi s}\,\mathcal{L}\{\sin\tau-\cos\tau\} =e^{-\pi s}\Bigl(\frac{1}{s^{2}+1}-\frac{s}{s^{2}+1}\Bigr) =e^{-\pi s}\,\frac{1-s}{s^{2}+1}.

Passo 5

Terceiro termo ( a=2\pi): com \tau=t-2\pi,
G_{2}(\tau) =e^{-(\tau+2\pi)/10}-\cos(\tau+2\pi) =e^{-2\pi/10}\,e^{-\tau/10}-\cos\tau,
então
\mathcal{L}\{(e^{-t/10}-\cos t)\,u(t-2\pi)\} =e^{-2\pi s}\Bigl(\frac{e^{-2\pi/10}}{s+\tfrac{1}{10}}-\frac{s}{s^{2}+1}\Bigr).
Somando tudo,
F(s) =\frac{1}{s^{2}+1} +e^{-\pi s}\,\frac{1-s}{s^{2}+1} +e^{-2\pi s}\Bigl(\frac{e^{-2\pi/10}}{s+\tfrac{1}{10}}-\frac{s}{s^{2}+1}\Bigr).

Resposta

f(t) em termos de degraus:
f(t)=\sin t +\bigl(\cos t - \sin t\bigr)\,u(t-\pi) +\bigl(e^{-t/10}-\cos t\bigr)\,u(t-2\pi).
Transformada de Laplace:
F(s) =\frac{1}{s^{2}+1} +e^{-\pi s}\,\frac{1-s}{s^{2}+1} +e^{-2\pi s}\Bigl(\frac{e^{-2\pi/10}}{s+\tfrac{1}{10}}-\frac{s}{s^{2}+1}\Bigr).

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