Questão 8. Calcule as integrais de linha dos seguintes campos vetoriais: \vec{F}(x, y, z)=x y \vec{\imath}+3 y^{2} \vec{\jmath} e \gamma(t)=\left(t^{4}, t^{3}\right) com 0 \leq t \leq 1.
Passo 1
O enunciado pede que a gente compute a integral de linha do campo vetorial \vec{F} ao longo da curva \gamma. As informações dadas são:
O campo vetorial é \vec{F}(x,y,z)=x y \,\vec{\imath}+3 y^{2}\,\vec{\jmath}.
A curva é \gamma(t)=\left(t^{4},t^{3}\right) com 0\le t\le 1.
A integral de linha que queremos é \displaystyle \int_{\gamma}\vec{F}\cdot d\vec{r} (isto é implícito no enunciado).
Observação: o campo foi dado em coordenadas (x,y,z) mas os componentes dependem apenas de x e y. A curva está em \mathbb{R}^{2}; podemos considerá‑la embutida no plano z=0 se necessário.
Passo 2
Vamos escrever a parametrização da curva como um vetor em \mathbb{R}^{3} (colocando z=0 para manter consistência com \vec{F}):
Explicação didática: aqui \vec{r}(t) dá a posição no espaço em função do parâmetro t. Cada componente é uma função de t: x(t)=t^{4}, y(t)=t^{3}, z(t)=0.
Passo 3
Calculemos a derivada da parametrização \vec{r}'(t), que representa o vetor tangente à curva:
\vec{r}'(t)=\bigl(4t^{3},\,3t^{2},\,0\bigr).
Explicação didática: derivamos cada componente em relação a t: \dfrac{d}{dt}t^{4}=4t^{3}, \dfrac{d}{dt}t^{3}=3t^{2}, \dfrac{d}{dt}0=0.
Passo 4
Lembrete da fórmula da integral de linha para campos vetoriais (definição básica que usaremos):
onde a e b são os limites do parâmetro; aqui a=0 e b=1.
Explicação didática: substituímos a curva na função campo para obter um campo dependente apenas de t, fazemos o produto escalar com \vec{r}'(t) e integramos em t.
Passo 5
Avalie \vec{F} ao longo da curva, isto é, \vec{F}(\vec{r}(t)). Substituindo x=t^{4} e y=t^{3} em \vec{F}(x,y,z)=x y \,\vec{\imath}+3 y^{2}\,\vec{\jmath} obtemos: