Questão 8. Calcule as integrais de linha dos seguintes campos vetoriais:
\vec{F}(x, y, z)=x y \vec{\imath}+3 y^{2} \vec{\jmath} e \gamma(t)=\left(t^{4}, t^{3}\right) com 0 \leq t \leq 1.

Passo 1

O enunciado pede que a gente compute a integral de linha do campo vetorial \vec{F} ao longo da curva \gamma. As informações dadas são:
  • O campo vetorial é \vec{F}(x,y,z)=x y \,\vec{\imath}+3 y^{2}\,\vec{\jmath}.
  • A curva é \gamma(t)=\left(t^{4},t^{3}\right) com 0\le t\le 1.
  • A integral de linha que queremos é \displaystyle \int_{\gamma}\vec{F}\cdot d\vec{r} (isto é implícito no enunciado).
    Observação: o campo foi dado em coordenadas (x,y,z) mas os componentes dependem apenas de x e y. A curva está em \mathbb{R}^{2}; podemos considerá‑la embutida no plano z=0 se necessário.

Passo 2

Vamos escrever a parametrização da curva como um vetor em \mathbb{R}^{3} (colocando z=0 para manter consistência com \vec{F}):
\vec{r}(t)=\bigl(t^{4},\,t^{3},\,0\bigr),\qquad 0\le t\le 1.
Explicação didática: aqui \vec{r}(t) dá a posição no espaço em função do parâmetro t. Cada componente é uma função de t: x(t)=t^{4}, y(t)=t^{3}, z(t)=0.

Passo 3

Calculemos a derivada da parametrização \vec{r}'(t), que representa o vetor tangente à curva:
\vec{r}'(t)=\bigl(4t^{3},\,3t^{2},\,0\bigr).
Explicação didática: derivamos cada componente em relação a t: \dfrac{d}{dt}t^{4}=4t^{3}, \dfrac{d}{dt}t^{3}=3t^{2}, \dfrac{d}{dt}0=0.

Passo 4

Lembrete da fórmula da integral de linha para campos vetoriais (definição básica que usaremos):
\int_{\gamma}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\int_{a}^{b}\vec{F}\bigl(\vec{r}(t)\bigr)\cdot\vec{r}'(t)\,dt,
onde a e b são os limites do parâmetro; aqui a=0 e b=1.
Explicação didática: substituímos a curva na função campo para obter um campo dependente apenas de t, fazemos o produto escalar com \vec{r}'(t) e integramos em t.

Passo 5

Avalie \vec{F} ao longo da curva, isto é, \vec{F}(\vec{r}(t)). Substituindo x=t^{4} e y=t^{3} em \vec{F}(x,y,z)=x y \,\vec{\imath}+3 y^{2}\,\vec{\jmath} obtemos:
\vec{F}\bigl(\vec{r}(t)\bigr)=\bigl(t^{4}\cdot t^{3},\;3(t^{3})^{2},\;0\bigr)=\bigl(t^{7},\;3t^{6},\;0\bigr).
Explicação didática: multiplicamos as potências de t (por exemplo t^{4}\cdot t^{3}=t^{7}) e calculamos 3(y^{2})=3(t^{3})^{2}=3t^{6}.

Passo 6

Agora fazemos o produto escalar \vec{F}(\vec{r}(t))\cdot\vec{r}'(t):
\vec{F}(\vec{r}(t))\cdot\vec{r}'(t)=\bigl(t^{7},\,3t^{6},\,0\bigr)\cdot\bigl(4t^{3},\,3t^{2},\,0\bigr).
Calculando componente a componente:
t^{7}\cdot 4t^{3}+3t^{6}\cdot 3t^{2}+0=4t^{10}+9t^{8}.
Explicação didática: produto escalar soma os produtos das componentes correspondentes; usamos regras de potências t^{a}\cdot t^{b}=t^{a+b}.

Passo 7

Montamos a integral em t e integramos:
\int_{\gamma}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\int_{0}^{1}\bigl(4t^{10}+9t^{8}\bigr)\,dt.
Aplicando a regra da primitiva para potências ( \displaystyle \int t^{n}\,dt=\frac{t^{n+1}}{n+1} para n\neq-1):
\int_{0}^{1}4t^{10}\,dt=4\cdot\frac{t^{11}}{11}\Big|_{0}^{1}=\frac{4}{11},
\int_{0}^{1}9t^{8}\,dt=9\cdot\frac{t^{9}}{9}\Big|_{0}^{1}=1.
Explicação didática: computei as duas integrais separadamente e avaliei entre 0 e 1.

Passo 8

Somando as parcelas obtidas:
\int_{0}^{1}\bigl(4t^{10}+9t^{8}\bigr)\,dt=\frac{4}{11}+1=\frac{4}{11}+\frac{11}{11}=\frac{15}{11}.
Então a integral de linha vale \dfrac{15}{11}.

Resposta

\dfrac{15}{11}

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