Questão C. (campos de 3-vetores em mathbb{R}^{3} )
O objetivo desta questão é, assim como nas questões A e B , reinterpretar o que é o divergente de um campo vetorial, tendo em vista a discussão no fim da aula do dia 24 .
Sejam \vec{u}=a_{1} \vec{\imath}+a_{2} \vec{\jmath}+a_{3} \vec{k}, \vec{v}=b_{1} \vec{\imath}+b_{2} \vec{\jmath}+b_{3} \vec{k} e \vec{w}=c_{1} \vec{\imath}+c_{2} \vec{\jmath}+c_{3} \vec{k} vetores em \mathbb{R}^{3}. Podemos então associar \vec{u}, \vec{v}, \vec{w} ao 3-vetor definido por:
Onde \vec{\imath} \wedge \vec{\jmath} \wedge \vec{k} é o paralelogramo tridimensional gerado pelos vetores da base canônica \{\vec{\imath}, \vec{\jmath}, \vec{k}\}.
Mostre que:
Ou seja, \|\vec{u} \wedge \vec{v} \wedge \vec{w}\| representa o volume em valor absoluto do 3-paralelogramo gerado pelos vetores \vec{u}, \vec{v}, \vec{w}.
Dizemos que \mathfrak{F} é um campo de 3 -vetores em \mathbb{R}^{3} definido em um domínio D \subset \mathbb{R}^{3} se a cada (x, y, z) \in D associa-se um único paralelogramo orientado:
\mathfrak{F}(x, y, z)=f(x, y, z) \cdot \vec{\imath} \wedge \vec{\jmath} \wedge \vec{k}
Onde f: D \longrightarrow \mathbb{R} é uma função escalar definida em D. Com a noção de campos de 3-vetores, podemos agora estender o gradiente como um operador \nabla que leva campos de 2 -vetores em campos de 3 -vetores definido da seguinte forma: para \mathcal{F}=P \cdot \vec{\jmath} \wedge \vec{k}+Q \cdot \vec{k} \wedge \vec{\imath}+R \cdot \vec{\imath} \wedge \vec{\jmath} um campo de 2-vetores, definimos um novo campo de 3 -vetores tomando:
\nabla \mathcal{F}(x, y, z)=\nabla P(x, y, z) \wedge \vec{\jmath} \wedge \vec{k}+\nabla Q(x, y, z) \wedge \vec{k} \wedge \vec{\imath}+\nabla R(x, y, z) \wedge \vec{\imath} \wedge \vec{\jmath}
Calcule \nabla \mathcal{F} para os seguintes campos de 2 -vetores: \mathcal{F}=(x+y+z) \cdot \vec{\jmath} \wedge \vec{k}+(x-y-z) \cdot \vec{k} \wedge \vec{\imath}+(z-y) \cdot \vec{\imath} \wedge \vec{\jmath}
Agora, dado \mathcal{F} um campo de 2 -vetores, considere o campo vetorial \vec{F} que está identificado \operatorname{com} \mathcal{F}, isto é, \mathcal{F} \cong \vec{F} (veja a questão B). Mostre que:
Moral da história 2: As questões B e C mostram que a mesma filosofia agora se aplica no espaço euclidiano \mathbb{R}^{3}. Se pensarmos que funções são 0 -campos vetoriais (ou campos escalares), então podemos pensar o gradiente como um operador que leva n-campos vetoriais em ( n+1 )-campos vetoriais, com n=0,1,2, satisfazendo \nabla^{2}=0. Assim, representando por \mathfrak{X}_{n}\left(\mathbb{R}^{3}\right) o espaço de todos os n-campos vetoriais, podemos expressar essa ideia no diagrama:
Observe, entretanto, que a razão para não introduzirmos 2 -campos ou 3 -campos de vetores num curso de cálculo III em \mathbb{R}^{3} é que podemos identificar um 2-campo \mathcal{F} com um campo vetorial \vec{F}, isto é, \mathcal{F} \cong \vec{F} e um 3-campo \mathfrak{F}(x, y, z)=f(x, y, z) \cdot \vec{\imath} \wedge \vec{\jmath} \wedge \vec{k} como uma função, simplesmente considerando sua parte escalar f. Assim, falamos apenas do rotacional e do divergente em vez de introduzirmos o operador \nabla para campos e 2-campos.
E em dimensões maiores? Como fica? A necessidade de falar de n-campos de vetores surge a partir do momento em que não é mais possível identificar campos com n-campos. Por exemplo, em dimensão 4 , temos uma base canônica \{\vec{\imath}, \vec{\jmath}, \vec{k}, \vec{l}\} composta por 4 vetores. Entretanto, temos agora 6 combinações distintas de 2-paralelogramos sem repetição :
De modo que o espaço vetorial composto por 2 -vetores (isto é, paralelogramos gerados por um par de vetores) possui dimensão 6, e não 4. Este exemplo mostra a necessidade de se trabalhar com n-campos em vez de campos e assim, o operador \nabla é a generalização correta das noções de rotacional e divergente que existem para campos em \mathbb{R}^{2} ou em \mathbb{R}^{3}. Tudo isto também está relacionado ao conceito de formas diferenciais, mas falar disso foge bastante do escopo do curso.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede coisas concretas.
Temos três vetores em \mathbb{R}^{3}: \vec{u}=a_{1}\vec{\imath}+a_{2}\vec{\jmath}+a_{3}\vec{k}, \vec{v}=b_{1}\vec{\imath}+b_{2}\vec{\jmath}+b_{3}\vec{k}, \vec{w}=c_{1}\vec{\imath}+c_{2}\vec{\jmath}+c_{3}\vec{k}.
(Aqui cada termo vem de eliminar a linha/coluna correspondentes; o sinal menos aparece no termo central por causa da regra do sinal em expansão de determinante.)
Agora calculamos o produto escalar com \vec{w}=c_{1}\vec{\imath}+c_{2}\vec{\jmath}+c_{3}\vec{k}:
Geometricamente: o determinante da matriz cujas linhas (ou colunas) são as componentes de \vec{u},\vec{v},\vec{w} é o volume assinado do paralelogramo tridimensional (paralelepípedo) gerado pelos vetores; o produto misto \langle\vec{u}\times\vec{v},\vec{w}\rangle é justamente esse número. Tomando valor absoluto obtemos o volume em valor absoluto, então
Se a orientação escolhida for a mesma, podemos identificar sem valor absoluto quando interpretamos a orientação do 3-paralelogramo; no enunciado pedem a igualdade sem módulo no lado direito, que é a forma usual do produto misto igual ao determinante (o sinal carrega a orientação).
Passo 3
Agora vamos entender e manipular o operador \nabla aplicado a um campo de 2-vetores. Primeiro, recordando que
e que a operação \wedge satisfaz as regras usuais de antissimetria:
\vec{a}\wedge\vec{a}=0 (repetição anula),
ao permutar vetores o sinal pode mudar conforme a paridade da permutação,
ciclos \vec{\imath}\wedge\vec{\jmath}\wedge\vec{k}, \vec{\jmath}\wedge\vec{k}\wedge\vec{\imath}, \vec{k}\wedge\vec{\imath}\wedge\vec{\jmath} são permutações cíclicas entre si e têm o mesmo sinal.
Aqui \vec{\jmath}\wedge\vec{\jmath}\wedge\vec{k}=0 e \vec{k}\wedge\vec{\jmath}\wedge\vec{k}=0 porque repetimos vetores. Só resta o termo com \vec{\imath}:
Os termos com \vec{\imath}\wedge\vec{k}\wedge\vec{\imath} e \vec{k}\wedge\vec{k}\wedge\vec{\imath} são zero. O único potencial não-nulo vem de Q_{y}\vec{\jmath}\wedge\vec{k}\wedge\vec{\imath}. Agora reescrevemos \vec{\jmath}\wedge\vec{k}\wedge\vec{\imath} em termos de \vec{\imath}\wedge\vec{\jmath}\wedge\vec{k}. A permutação (\vec{\imath},\vec{\jmath},\vec{k})\mapsto(\vec{\jmath},\vec{k},\vec{\imath}) é um ciclo de 3 elementos (uma 3‑ciclo), que é de sinal +1. Assim
Os termos com \vec{\imath}\wedge\vec{\imath}\wedge\vec{\jmath} e \vec{\jmath}\wedge\vec{\imath}\wedge\vec{\jmath} anulam. Só sobra o termo com R_{z}\vec{k}\wedge\vec{\imath}\wedge\vec{\jmath}. Reescrevendo \vec{k}\wedge\vec{\imath}\wedge\vec{\jmath} como \vec{\imath}\wedge\vec{\jmath}\wedge\vec{k}: a permutação (\vec{\imath},\vec{\jmath},\vec{k})\mapsto(\vec{k},\vec{\imath},\vec{\jmath}) também é uma 3‑ciclo (sinal +1), então
que é o que o enunciado pedia para mostrar. A razão pela qual só aparecem as derivadas parciais nas direções coincidentes com cada componente (por exemplo P_{x} com \vec{\jmath}\wedge\vec{k}) vem das regras de antissimetria da operação \wedge: termos que repetem uma direção anulam-se.
E a divergente do campo vetorial correspondente \vec{F}=P\vec{\imath}+Q\vec{\jmath}+R\vec{k} é
\operatorname{div}\vec{F}=P_{x}+Q_{y}+R_{z}=1,
portanto \nabla\mathcal{F}=\operatorname{div}\vec{F}\cdot\vec{\imath}\wedge\vec{\jmath}\wedge\vec{k} se confirma neste caso concreto.
Passo 5
Breve recapitulação didática e incentivo (rapidamente, pra te deixar confiante):
A igualdade \|\vec{u}\wedge\vec{v}\wedge\vec{w}\|=\langle\vec{u}\times\vec{v},\vec{w}\rangle é apenas a forma coordinada do fato geométrico: o volume orientado do paralelepípedo gerado por \vec{u},\vec{v},\vec{w} é o determinante das componentes, que é exatamente o produto misto (produto escalar do cross com o terceiro vetor). Lembra: produto vetorial dá área orientada do paralelogramo base; o produto escalar com o terceiro dá a altura projetada, produzindo o volume.
Para o operador \nabla em 2-campos, a conta reduz a somar as derivadas parciais dos componentes com os sinais apropriados. Por que só três derivadas aparecem? Porque nos produtos wedge os termos com repetição de base anulam-se; sobram apenas as derivadas que formam o divergente.
Força aí! Se quiser, eu refaço os mesmos cálculos mostrando a expansão do determinante passo a passo com números concretos, ou faço alguns exemplos extras com vetores simples pra você treinar. Vamos que dá tempo de dominar isso antes da prova!