Questão C. (campos de 3-vetores em mathbb{R}^{3} )
O objetivo desta questão é, assim como nas questões A e B , reinterpretar o que é o divergente de um campo vetorial, tendo em vista a discussão no fim da aula do dia 24 .
Sejam \vec{u}=a_{1} \vec{\imath}+a_{2} \vec{\jmath}+a_{3} \vec{k}, \vec{v}=b_{1} \vec{\imath}+b_{2} \vec{\jmath}+b_{3} \vec{k} e \vec{w}=c_{1} \vec{\imath}+c_{2} \vec{\jmath}+c_{3} \vec{k} vetores em \mathbb{R}^{3}. Podemos então associar \vec{u}, \vec{v}, \vec{w} ao 3-vetor definido por:
\vec{u} \wedge \vec{v} \wedge \vec{w}=\operatorname{det}\left(\begin{array}{lll} a_{1} & a_{2} & a_{3} \\\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \\\ c_{1} & c_{2} & c_{3} \end{array}\right) \cdot \vec{\imath} \wedge \vec{\jmath} \wedge \vec{k}
Onde \vec{\imath} \wedge \vec{\jmath} \wedge \vec{k} é o paralelogramo tridimensional gerado pelos vetores da base canônica \{\vec{\imath}, \vec{\jmath}, \vec{k}\}.
Mostre que:
\|\vec{u} \wedge \vec{v} \wedge \vec{w}\|=\langle\vec{u} \times \vec{v}, \vec{w}\rangle
Ou seja, \|\vec{u} \wedge \vec{v} \wedge \vec{w}\| representa o volume em valor absoluto do 3-paralelogramo gerado pelos vetores \vec{u}, \vec{v}, \vec{w}.
Dizemos que \mathfrak{F} é um campo de 3 -vetores em \mathbb{R}^{3} definido em um domínio D \subset \mathbb{R}^{3} se a cada (x, y, z) \in D associa-se um único paralelogramo orientado:
\mathfrak{F}(x, y, z)=f(x, y, z) \cdot \vec{\imath} \wedge \vec{\jmath} \wedge \vec{k}
Onde f: D \longrightarrow \mathbb{R} é uma função escalar definida em D. Com a noção de campos de 3-vetores, podemos agora estender o gradiente como um operador \nabla que leva campos de 2 -vetores em campos de 3 -vetores definido da seguinte forma: para \mathcal{F}=P \cdot \vec{\jmath} \wedge \vec{k}+Q \cdot \vec{k} \wedge \vec{\imath}+R \cdot \vec{\imath} \wedge \vec{\jmath} um campo de 2-vetores, definimos um novo campo de 3 -vetores tomando:
\nabla \mathcal{F}(x, y, z)=\nabla P(x, y, z) \wedge \vec{\jmath} \wedge \vec{k}+\nabla Q(x, y, z) \wedge \vec{k} \wedge \vec{\imath}+\nabla R(x, y, z) \wedge \vec{\imath} \wedge \vec{\jmath}
Calcule \nabla \mathcal{F} para os seguintes campos de 2 -vetores: \mathcal{F}=(x+y+z) \cdot \vec{\jmath} \wedge \vec{k}+(x-y-z) \cdot \vec{k} \wedge \vec{\imath}+(z-y) \cdot \vec{\imath} \wedge \vec{\jmath}
Agora, dado \mathcal{F} um campo de 2 -vetores, considere o campo vetorial \vec{F} que está identificado \operatorname{com} \mathcal{F}, isto é, \mathcal{F} \cong \vec{F} (veja a questão B). Mostre que:
\nabla \mathcal{F}=\operatorname{div} \vec{F} \cdot \vec{\imath} \wedge \vec{\jmath} \wedge \vec{k}
Moral da história 2: As questões B e C mostram que a mesma filosofia agora se aplica no espaço euclidiano \mathbb{R}^{3}. Se pensarmos que funções são 0 -campos vetoriais (ou campos escalares), então podemos pensar o gradiente como um operador que leva n-campos vetoriais em ( n+1 )-campos vetoriais, com n=0,1,2, satisfazendo \nabla^{2}=0. Assim, representando por \mathfrak{X}_{n}\left(\mathbb{R}^{3}\right) o espaço de todos os n-campos vetoriais, podemos expressar essa ideia no diagrama:
\mathfrak{X}_{0}\left(\mathbb{R}^{3}\right) \xrightarrow{\nabla} \mathfrak{X}_{1}\left(\mathbb{R}^{3}\right) \xrightarrow{\nabla} \mathfrak{X}_{2}\left(\mathbb{R}^{3}\right) \xrightarrow{\nabla} \mathfrak{X}_{3}\left(\mathbb{R}^{3}\right) \xrightarrow{\nabla} 0
Observe, entretanto, que a razão para não introduzirmos 2 -campos ou 3 -campos de vetores num curso de cálculo III em \mathbb{R}^{3} é que podemos identificar um 2-campo \mathcal{F} com um campo vetorial \vec{F}, isto é, \mathcal{F} \cong \vec{F} e um 3-campo \mathfrak{F}(x, y, z)=f(x, y, z) \cdot \vec{\imath} \wedge \vec{\jmath} \wedge \vec{k} como uma função, simplesmente considerando sua parte escalar f. Assim, falamos apenas do rotacional e do divergente em vez de introduzirmos o operador \nabla para campos e 2-campos.
E em dimensões maiores? Como fica? A necessidade de falar de n-campos de vetores surge a partir do momento em que não é mais possível identificar campos com n-campos. Por exemplo, em dimensão 4 , temos uma base canônica \{\vec{\imath}, \vec{\jmath}, \vec{k}, \vec{l}\} composta por 4 vetores. Entretanto, temos agora 6 combinações distintas de 2-paralelogramos sem repetição :
\vec{\imath} \wedge \vec{\jmath} \quad \vec{\jmath} \wedge \vec{k} \quad \vec{k} \wedge \vec{l} \quad \vec{l} \wedge \vec{\imath} \quad \vec{\imath} \wedge \vec{k} \quad \vec{\jmath} \wedge \vec{l}
De modo que o espaço vetorial composto por 2 -vetores (isto é, paralelogramos gerados por um par de vetores) possui dimensão 6, e não 4. Este exemplo mostra a necessidade de se trabalhar com n-campos em vez de campos e assim, o operador \nabla é a generalização correta das noções de rotacional e divergente que existem para campos em \mathbb{R}^{2} ou em \mathbb{R}^{3}. Tudo isto também está relacionado ao conceito de formas diferenciais, mas falar disso foge bastante do escopo do curso.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede coisas concretas.
  • Temos três vetores em \mathbb{R}^{3}:
    \vec{u}=a_{1}\vec{\imath}+a_{2}\vec{\jmath}+a_{3}\vec{k},
    \vec{v}=b_{1}\vec{\imath}+b_{2}\vec{\jmath}+b_{3}\vec{k},
    \vec{w}=c_{1}\vec{\imath}+c_{2}\vec{\jmath}+c_{3}\vec{k}.
  • Define-se o 3-vetor
    \vec{u}\wedge\vec{v}\wedge\vec{w} =\det\begin{pmatrix} a_{1} & a_{2} & a_{3} \\\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \\\ c_{1} & c_{2} & c_{3} \end{pmatrix}\cdot\vec{\imath}\wedge\vec{\jmath}\wedge\vec{k}.
    O enunciado nos pede mostrar que
    \|\vec{u}\wedge\vec{v}\wedge\vec{w}\| =\langle \vec{u}\times\vec{v},\vec{w}\rangle,
    isto é, que o módulo do 3-paralelogramo é o produto misto (scalar triple product).
  • Depois apresenta um campo de 2-vetores
    \mathcal{F}=P\cdot\vec{\jmath}\wedge\vec{k}+Q\cdot\vec{k}\wedge\vec{\imath}+R\cdot\vec{\imath}\wedge\vec{\jmath},
    e define o operador
    \nabla\mathcal{F}=\nabla P\wedge\vec{\jmath}\wedge\vec{k} +\nabla Q\wedge\vec{k}\wedge\vec{\imath} +\nabla R\wedge\vec{\imath}\wedge\vec{\jmath}.
  • Para calcular explicitamente, nos dão o caso
    \mathcal{F}=(x+y+z)\cdot\vec{\jmath}\wedge\vec{k}+(x-y-z)\cdot\vec{k}\wedge\vec{\imath}+(z-y)\cdot\vec{\imath}\wedge\vec{\jmath}.
    Precisamos calcular \nabla\mathcal{F} neste caso.
  • Finalmente, devemos mostrar a identidade geral (usando a identificação \mathcal{F}\cong\vec{F} com \vec{F}=P\vec{\imath}+Q\vec{\jmath}+R\vec{k}):
    \nabla\mathcal{F}=\operatorname{div}\vec{F}\cdot\vec{\imath}\wedge\vec{\jmath}\wedge\vec{k}.
Resumo das tarefas:
  1. Mostrar \|\vec{u}\wedge\vec{v}\wedge\vec{w}\|=\langle\vec{u}\times\vec{v},\vec{w}\rangle e interpretar geométricamente.
  2. Calcular \nabla\mathcal{F} para o \mathcal{F} dado.
  3. Mostrar a identidade geral \nabla\mathcal{F}=\operatorname{div}\vec{F}\cdot\vec{\imath}\wedge\vec{\jmath}\wedge\vec{k}.

Passo 2

Vou provar a igualdade algébrica básica que liga determinante, produto vetorial e produto misto:
\langle\vec{u}\times\vec{v},\vec{w}\rangle=\det\begin{pmatrix} a_{1} & a_{2} & a_{3} \\\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \\\ c_{1} & c_{2} & c_{3} \end{pmatrix}.
  • Primeiro, escrevemos o produto vetorial \vec{u}\times\vec{v} pela fórmula determinantal (essa é a definição prática que usamos em cálculo):
    \vec{u}\times\vec{v}= \det\begin{pmatrix} \vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\\ a_{1} & a_{2} & a_{3} \\\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \end{pmatrix}.
    Expandindo por cofactores obtemos as componentes (mostro cada uma para você ver que não pulei etapa):
    \vec{u}\times\vec{v}=\big(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}\big)\vec{\imath} -\big(a_{1}b_{3}-a_{3}b_{1}\big)\vec{\jmath} +\big(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}\big)\vec{k}.
    (Aqui cada termo vem de eliminar a linha/coluna correspondentes; o sinal menos aparece no termo central por causa da regra do sinal em expansão de determinante.)
  • Agora calculamos o produto escalar com \vec{w}=c_{1}\vec{\imath}+c_{2}\vec{\jmath}+c_{3}\vec{k}:
    \langle\vec{u}\times\vec{v},\vec{w}\rangle =(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})c_{1} - (a_{1}b_{3}-a_{3}b_{1})c_{2} + (a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})c_{3}.
  • Se você abrir o determinante por cofactores da primeira coluna, obtém exatamente essa combinação:
    \det\begin{pmatrix} a_{1} & a_{2} & a_{3} \\\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \\\ c_{1} & c_{2} & c_{3} \end{pmatrix} = a_{1}\det\begin{pmatrix} b_{2} & b_{3} \\\ c_{2} & c_{3} \end{pmatrix} - a_{2}\det\begin{pmatrix} b_{1} & b_{3} \\\ c_{1} & c_{3} \end{pmatrix} + a_{3}\det\begin{pmatrix} b_{1} & b_{2} \\\ c_{1} & c_{2} \end{pmatrix},
    que, reescrita e com reorganização de termos, torna-se exatamente a expressão que encontramos para \langle\vec{u}\times\vec{v},\vec{w}\rangle.
  • Portanto temos a igualdade algébrica
    \langle\vec{u}\times\vec{v},\vec{w}\rangle =\det\begin{pmatrix} a_{1} & a_{2} & a_{3} \\\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \\\ c_{1} & c_{2} & c_{3} \end{pmatrix}.
  • Geometricamente: o determinante da matriz cujas linhas (ou colunas) são as componentes de \vec{u},\vec{v},\vec{w} é o volume assinado do paralelogramo tridimensional (paralelepípedo) gerado pelos vetores; o produto misto \langle\vec{u}\times\vec{v},\vec{w}\rangle é justamente esse número. Tomando valor absoluto obtemos o volume em valor absoluto, então
    \|\vec{u}\wedge\vec{v}\wedge\vec{w}\| =\left|\det\begin{pmatrix} a_{1} & a_{2} & a_{3} \\\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \\\ c_{1} & c_{2} & c_{3} \end{pmatrix}\right| =\big|\langle\vec{u}\times\vec{v},\vec{w}\rangle\big|.
    Se a orientação escolhida for a mesma, podemos identificar sem valor absoluto quando interpretamos a orientação do 3-paralelogramo; no enunciado pedem a igualdade sem módulo no lado direito, que é a forma usual do produto misto igual ao determinante (o sinal carrega a orientação).

Passo 3

Agora vamos entender e manipular o operador \nabla aplicado a um campo de 2-vetores. Primeiro, recordando que
\nabla P=\frac{\partial P}{\partial x}\vec{\imath} +\frac{\partial P}{\partial y}\vec{\jmath} +\frac{\partial P}{\partial z}\vec{k},
e que a operação \wedge satisfaz as regras usuais de antissimetria:
  • \vec{a}\wedge\vec{a}=0 (repetição anula),
  • ao permutar vetores o sinal pode mudar conforme a paridade da permutação,
  • ciclos \vec{\imath}\wedge\vec{\jmath}\wedge\vec{k}, \vec{\jmath}\wedge\vec{k}\wedge\vec{\imath}, \vec{k}\wedge\vec{\imath}\wedge\vec{\jmath} são permutações cíclicas entre si e têm o mesmo sinal.
Vamos expandir cada termo de
\nabla\mathcal{F}=\nabla P\wedge\vec{\jmath}\wedge\vec{k} +\nabla Q\wedge\vec{k}\wedge\vec{\imath} +\nabla R\wedge\vec{\imath}\wedge\vec{\jmath}.
  • Primeiro termo:
    \nabla P\wedge\vec{\jmath}\wedge\vec{k} =\Big(\frac{\partial P}{\partial x}\vec{\imath} +\frac{\partial P}{\partial y}\vec{\jmath} +\frac{\partial P}{\partial z}\vec{k}\Big) \wedge\vec{\jmath}\wedge\vec{k}.
    Aqui \vec{\jmath}\wedge\vec{\jmath}\wedge\vec{k}=0 e \vec{k}\wedge\vec{\jmath}\wedge\vec{k}=0 porque repetimos vetores. Só resta o termo com \vec{\imath}:
    \nabla P\wedge\vec{\jmath}\wedge\vec{k} =\frac{\partial P}{\partial x}\,\vec{\imath}\wedge\vec{\jmath}\wedge\vec{k}.
  • Segundo termo:
    \nabla Q\wedge\vec{k}\wedge\vec{\imath} =\Big(Q_{x}\vec{\imath}+Q_{y}\vec{\jmath}+Q_{z}\vec{k}\Big)\wedge\vec{k}\wedge\vec{\imath}.
    Os termos com \vec{\imath}\wedge\vec{k}\wedge\vec{\imath} e \vec{k}\wedge\vec{k}\wedge\vec{\imath} são zero. O único potencial não-nulo vem de Q_{y}\vec{\jmath}\wedge\vec{k}\wedge\vec{\imath}. Agora reescrevemos \vec{\jmath}\wedge\vec{k}\wedge\vec{\imath} em termos de \vec{\imath}\wedge\vec{\jmath}\wedge\vec{k}. A permutação (\vec{\imath},\vec{\jmath},\vec{k})\mapsto(\vec{\jmath},\vec{k},\vec{\imath}) é um ciclo de 3 elementos (uma 3‑ciclo), que é de sinal +1. Assim
    \vec{\jmath}\wedge\vec{k}\wedge\vec{\imath}=+\vec{\imath}\wedge\vec{\jmath}\wedge\vec{k}.
    Portanto
    \nabla Q\wedge\vec{k}\wedge\vec{\imath}=Q_{y}\,\vec{\imath}\wedge\vec{\jmath}\wedge\vec{k}.
  • Terceiro termo:
    \nabla R\wedge\vec{\imath}\wedge\vec{\jmath} =\Big(R_{x}\vec{\imath}+R_{y}\vec{\jmath}+R_{z}\vec{k}\Big)\wedge\vec{\imath}\wedge\vec{\jmath}.
    Os termos com \vec{\imath}\wedge\vec{\imath}\wedge\vec{\jmath} e \vec{\jmath}\wedge\vec{\imath}\wedge\vec{\jmath} anulam. Só sobra o termo com R_{z}\vec{k}\wedge\vec{\imath}\wedge\vec{\jmath}. Reescrevendo \vec{k}\wedge\vec{\imath}\wedge\vec{\jmath} como \vec{\imath}\wedge\vec{\jmath}\wedge\vec{k}: a permutação (\vec{\imath},\vec{\jmath},\vec{k})\mapsto(\vec{k},\vec{\imath},\vec{\jmath}) também é uma 3‑ciclo (sinal +1), então
    \vec{k}\wedge\vec{\imath}\wedge\vec{\jmath}=+\vec{\imath}\wedge\vec{\jmath}\wedge\vec{k}.
    Logo
    \nabla R\wedge\vec{\imath}\wedge\vec{\jmath}=R_{z}\,\vec{\imath}\wedge\vec{\jmath}\wedge\vec{k}.
  • Somando os três termos obtemos:
    \nabla\mathcal{F} =\Big(P_{x}+Q_{y}+R_{z}\Big)\vec{\imath}\wedge\vec{\jmath}\wedge\vec{k}.
  • Observação interpretativa: se identificarmos \mathcal{F} com o campo vetorial
    \vec{F}=P\vec{\imath}+Q\vec{\jmath}+R\vec{k},
    então \operatorname{div}\vec{F}=P_{x}+Q_{y}+R_{z}. Assim a identidade fica
    \nabla\mathcal{F}=\operatorname{div}\vec{F}\cdot\vec{\imath}\wedge\vec{\jmath}\wedge\vec{k},
    que é o que o enunciado pedia para mostrar. A razão pela qual só aparecem as derivadas parciais nas direções coincidentes com cada componente (por exemplo P_{x} com \vec{\jmath}\wedge\vec{k}) vem das regras de antissimetria da operação \wedge: termos que repetem uma direção anulam-se.

Passo 4

Agora aplico a fórmula explícita ao campo dado:
\mathcal{F}=(x+y+z)\cdot\vec{\jmath}\wedge\vec{k}+(x-y-z)\cdot\vec{k}\wedge\vec{\imath}+(z-y)\cdot\vec{\imath}\wedge\vec{\jmath}.
Aqui temos
P(x,y,z)=x+y+z,\qquad Q(x,y,z)=x-y-z,\qquad R(x,y,z)=z-y.
Calculo as derivadas parciais relevantes:
P_{x}=\frac{\partial}{\partial x}(x+y+z)=1,
Q_{y}=\frac{\partial}{\partial y}(x-y-z)=-1,
R_{z}=\frac{\partial}{\partial z}(z-y)=1.
Somando:
P_{x}+Q_{y}+R_{z}=1+(-1)+1=1.
Pelo resultado do passo anterior,
\boxed{\nabla\mathcal{F}=1\cdot\vec{\imath}\wedge\vec{\jmath}\wedge\vec{k}.}
E a divergente do campo vetorial correspondente \vec{F}=P\vec{\imath}+Q\vec{\jmath}+R\vec{k} é
\operatorname{div}\vec{F}=P_{x}+Q_{y}+R_{z}=1,
portanto \nabla\mathcal{F}=\operatorname{div}\vec{F}\cdot\vec{\imath}\wedge\vec{\jmath}\wedge\vec{k} se confirma neste caso concreto.

Passo 5

Breve recapitulação didática e incentivo (rapidamente, pra te deixar confiante):
  • A igualdade \|\vec{u}\wedge\vec{v}\wedge\vec{w}\|=\langle\vec{u}\times\vec{v},\vec{w}\rangle é apenas a forma coordinada do fato geométrico: o volume orientado do paralelepípedo gerado por \vec{u},\vec{v},\vec{w} é o determinante das componentes, que é exatamente o produto misto (produto escalar do cross com o terceiro vetor). Lembra: produto vetorial dá área orientada do paralelogramo base; o produto escalar com o terceiro dá a altura projetada, produzindo o volume.
  • Para o operador \nabla em 2-campos, a conta reduz a somar as derivadas parciais dos componentes com os sinais apropriados. Por que só três derivadas aparecem? Porque nos produtos wedge os termos com repetição de base anulam-se; sobram apenas as derivadas que formam o divergente.
Força aí! Se quiser, eu refaço os mesmos cálculos mostrando a expansão do determinante passo a passo com números concretos, ou faço alguns exemplos extras com vetores simples pra você treinar. Vamos que dá tempo de dominar isso antes da prova!

Resposta

\|\vec{u}\wedge\vec{v}\wedge\vec{w}\|=\langle\vec{u}\times\vec{v},\vec{w}\rangle.\n \nabla\mathcal{F}=1\cdot\vec{\imath}\wedge\vec{\jmath}\wedge\vec{k}.\n \nabla\mathcal{F}=\operatorname{div}\vec{F}\cdot\vec{\imath}\wedge\vec{\jmath}\wedge\vec{k}.

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