Questão 5. As integrais de superfície tem aplicações semelhantes às dadas no exercício 2 . Se
representa uma superficie (por exemplo, uma folha fina ou uma placa de alumínio ou de ferro) e se a densidade (massa por unidade de área) no ponto (
) for representada por
então a massa total da superfície é dada por:
E o centro de massa será (
) onde:
Nos próximos itens, dada a superfície e a densidade, calcule a massa e o centro de massa.
Os momentos de inércia da superfície
em relação aos eixos
, respectivamente, são:
Calcule os momentos de inércia das seguintes superfícies:
é a superfície homogênea de equação
, em torno do eixo z.
Passo 1
O enunciado pede o momento de inércia da superfície
em torno do eixo
. Dados e condições fornecidas:
- A superfície é a parte do paraboloide definida por
com . - A superfície é homogênea, isto é, a densidade superficial é constante; vou chamar essa constante de
. - A fórmula do momento de inércia em torno do eixo
para uma superfície é
- Precisamos transformar essa integral de superfície em uma integral dupla sobre a projeção no plano
e calcular o valor em função de e .
Passo 2
Primeiro lembrete prático (aulas rápidas): se uma superfície é dada como gráfico
, a área elementar da superfície é
onde
,
e
é o elemento de área no plano
. Aqui
. Calculamos as derivadas parciais:
Logo
Passo 3
O integrando em
é
. Substituindo
obtemos a integral sobre a região
(disco de raio
no plano
):
Para simplificar usemos coordenadas polares:
. Então
e
. Além disso
. Assim o integrando fica mais simples:
Passo 4
Integramos primeiro em
(é só um fator
):
Agora precisamos calcular a integral radial
Passo 5
Para essa integral, faça a substituição padrão para radicais do tipo
. Defina
Queremos escrever
em função de
. Observe que
e
. Assim
Passo 6
Substituindo na integral radial:
Integramos termo a termo:
Passo 7
Avalie a primitiva nos extremos
e
. Chamando
para abreviar,
Note que
, então a expressão fica
Multiplicando por
obtemos
Para apresentar de forma compacta, coloque tudo sobre o mesmo denominador
:
lembrando que
.
Passo 8
Interprete o resultado: a expressão acima dá o momento de inércia em torno do eixo
da superfície paraboloide truncada, para densidade superficial constante
. Se quiser a forma com
explícito como massa superficial por unidade de área, mantenha
. Se a superfície for homogênea com densidade unitária, ponha
.