Questão 5. As integrais de superfície tem aplicações semelhantes às dadas no exercício 2 . Se S representa uma superficie (por exemplo, uma folha fina ou uma placa de alumínio ou de ferro) e se a densidade (massa por unidade de área) no ponto ( x, y, z ) for representada por \delta(x, y, z) então a massa total da superfície é dada por:
M=\iint_{S} \delta(x, y, z) d S
E o centro de massa será ( \bar{x}, \bar{y}, \bar{z} ) onde:
\begin{aligned} \bar{x} & =\frac{1}{M} \iint_{S} x \delta(x, y, z) d S \\\ \bar{y} & =\frac{1}{M} \int_{S} y \delta(x, y, z) d S \\\ \bar{z} & =\frac{1}{M} \int_{S} z \delta(z, y, z) d S \end{aligned}
Nos próximos itens, dada a superfície e a densidade, calcule a massa e o centro de massa.
Os momentos de inércia da superfície S em relação aos eixos x, y, z, respectivamente, são:
\begin{aligned} & I_{x}=\int_{S}\left(y^{2}+z^{2}\right) \delta(x, y, z) d S \\\ & I_{y}=\int_{S}\left(x^{2}+z^{2}\right) \delta(x, y, z) d S \end{aligned}
I_{z}=\int_{S}\left(x^{2}+y^{2}\right) \delta(x, y, z) d S
Calcule os momentos de inércia das seguintes superfícies:
S é a superfície homogênea de equação z=x^{2}+y^{2} \operatorname{com} x^{2}+y^{2} \leq R^{2}, em torno do eixo z.

Passo 1

O enunciado pede o momento de inércia da superfície S em torno do eixo z. Dados e condições fornecidas:
  • A superfície é a parte do paraboloide definida por z=x^{2}+y^{2} com x^{2}+y^{2}\le R^{2}.
  • A superfície é homogênea, isto é, a densidade superficial é constante; vou chamar essa constante de \delta.
  • A fórmula do momento de inércia em torno do eixo z para uma superfície é
I_{z}=\iint_{S}\left(x^{2}+y^{2}\right)\delta\, dS.
  • Precisamos transformar essa integral de superfície em uma integral dupla sobre a projeção no plano xy e calcular o valor em função de \delta e R.

Passo 2

Primeiro lembrete prático (aulas rápidas): se uma superfície é dada como gráfico z=g(x,y), a área elementar da superfície é
dS=\sqrt{1+g_x^2+g_y^2}\;dA,
onde g_x=\partial g/\partial x, g_y=\partial g/\partial y e dA é o elemento de área no plano xy. Aqui g(x,y)=x^{2}+y^{2}. Calculamos as derivadas parciais:
g_x=2x,\qquad g_y=2y.
Logo
dS=\sqrt{1+(2x)^{2}+(2y)^{2}}\;dA=\sqrt{1+4x^{2}+4y^{2}}\;dA.

Passo 3

O integrando em I_z é (x^{2}+y^{2})\delta. Substituindo dS obtemos a integral sobre a região D (disco de raio R no plano xy):
I_{z}=\iint_{D} (x^{2}+y^{2})\,\delta\,\sqrt{1+4x^{2}+4y^{2}}\;dA.
Para simplificar usemos coordenadas polares: x=r\cos\theta,\;y=r\sin\theta. Então x^{2}+y^{2}=r^{2} e dA=r\,dr\,d\theta. Além disso \sqrt{1+4x^{2}+4y^{2}}=\sqrt{1+4r^{2}}. Assim o integrando fica mais simples:
I_{z}=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{R} \delta\; r^{2}\;\sqrt{1+4r^{2}}\; r\,dr\,d\theta =\delta\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{R} r^{3}\sqrt{1+4r^{2}}\;dr\,d\theta.

Passo 4

Integramos primeiro em \theta (é só um fator 2\pi):
I_{z}=2\pi\delta\int_{0}^{R} r^{3}\sqrt{1+4r^{2}}\;dr.
Agora precisamos calcular a integral radial
\int_{0}^{R} r^{3}\sqrt{1+4r^{2}}\;dr.

Passo 5

Para essa integral, faça a substituição padrão para radicais do tipo 1+4r^{2}. Defina
u=1+4r^{2}\quad\Rightarrow\quad du=8r\,dr.
Queremos escrever r^{3}dr em função de u. Observe que r^{2}=\dfrac{u-1}{4} e r\,dr=\dfrac{du}{8}. Assim
r^{3}dr = r^{2}\cdot r\,dr = \frac{u-1}{4}\cdot\frac{du}{8}=\frac{u-1}{32}\,du.

Passo 6

Substituindo na integral radial:
\int_{0}^{R} r^{3}\sqrt{1+4r^{2}}\;dr =\int_{u=1}^{u=1+4R^{2}} \frac{u-1}{32}\,\sqrt{u}\;du =\frac{1}{32}\int_{1}^{1+4R^{2}}\left(u^{3/2}-u^{1/2}\right)du.
Integramos termo a termo:
\frac{1}{32}\left[\frac{2}{5}u^{5/2}-\frac{2}{3}u^{3/2}\right]_{1}^{1+4R^{2}} =\left[\frac{1}{80}u^{5/2}-\frac{1}{48}u^{3/2}\right]_{1}^{1+4R^{2}}.

Passo 7

Avalie a primitiva nos extremos u=1 e u=1+4R^{2}. Chamando U=1+4R^{2} para abreviar,
\int_{0}^{R} r^{3}\sqrt{1+4r^{2}}\;dr =\left(\frac{1}{80}U^{5/2}-\frac{1}{48}U^{3/2}\right)-\left(\frac{1}{80}-\frac{1}{48}\right).
Note que \dfrac{1}{80}-\dfrac{1}{48}=-\dfrac{1}{120}, então a expressão fica
\frac{1}{80}U^{5/2}-\frac{1}{48}U^{3/2}+\frac{1}{120}.
Multiplicando por 2\pi\delta obtemos
I_{z}=2\pi\delta\left(\frac{1}{80}U^{5/2}-\frac{1}{48}U^{3/2}+\frac{1}{120}\right).
Para apresentar de forma compacta, coloque tudo sobre o mesmo denominador 240:
I_{z}=\frac{\pi\delta}{120}\left(3U^{5/2}-5U^{3/2}+2\right),
lembrando que U=1+4R^{2}.

Passo 8

Interprete o resultado: a expressão acima dá o momento de inércia em torno do eixo z da superfície paraboloide truncada, para densidade superficial constante \delta. Se quiser a forma com \delta explícito como massa superficial por unidade de área, mantenha \delta. Se a superfície for homogênea com densidade unitária, ponha \delta=1.

Resposta

I_{z}=\frac{\pi\delta}{120}\Bigl(3\bigl(1+4R^{2}\bigr)^{5/2}-5\bigl(1+4R^{2}\bigr)^{3/2}+2\Bigr).

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