Questão 2. Calcule as integrais seguintes. 12pnts
\int \frac{x+4}{x^{3}+x} d x.

Passo 1

O enunciado pede que se calcule a integral
\int \frac{x+4}{x^{3}+x}\,dx.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
\text{Integrando: }\frac{x+4}{x^{3}+x}.
Observações diretas da expressão que vão nos servir depois: o denominador pode ser fatorado como x(x^{2}+1) (isto é visível ao observar x^{3}+x=x(x^{2}+1)), e o numerador tem grau 1, que é menor que o grau do denominador ( 3). Estas informações bastam para prosseguir com a resolução.

Passo 2

Vamos decompor a fração em frações parciais. Primeiro lembro do porquê: quando o denominador é produto de fatores simples e/ou quadráticos irreduzíveis, uma maneira padrão é escrever a fração como soma de termos cujo integral é conhecido. Como o denominador fatorou em x (fator linear) e x^{2}+1 (quadrático irreduzível), a forma geral da decomposição é
\frac{x+4}{x(x^{2}+1)}=\frac{A}{x}+\frac{Bx+C}{x^{2}+1},
onde A,B,C são constantes que vamos determinar. Também confirmamos que não é necessário fazer divisão de polinômios porque o grau do numerador é menor que o grau do denominador.

Passo 3

Eliminamos denominadores multiplicando ambos os lados por x(x^{2}+1)\). Obtemos a identidade polinomial \[x+4 = A(x^{2}+1) + (Bx+C)x.
Agora expandimos o lado direito e agrupamos termos por potências de x:
x+4 = A x^{2} + A + B x^{2} + C x = (A+B)x^{2} + C x + A.
Comparando coeficientes entre os polinômios (coeficientes para x^{2}, x e termo constante) com o polinómio 0\cdot x^{2} + 1\cdot x + 4, obtemos o sistema
\begin{cases} A + B = 0,\\[4pt] C = 1,\\[4pt] A = 4. \end{cases}
Da terceira equação temos A=4\]. Com \(A=4 e a primeira equação vem B=-A=-4. Da segunda temos C=1. Portanto
A=4,\quad B=-4,\quad C=1.]

Passo 4

Substituindo os valores encontrados na decomposição, obtemos
\frac{x+4}{x^{3}+x}=\frac{4}{x}+\frac{-4x+1}{x^{2}+1}.
Separamos em parcelas mais simples:
\frac{x+4}{x^{3}+x}=\frac{4}{x}-\frac{4x}{x^{2}+1}+\frac{1}{x^{2}+1}.
Agora integramos termo a termo:
  1. \displaystyle \int \frac{4}{x}\,dx = 4\int \frac{1}{x}\,dx = 4\ln|x|.
    Explicação: a primitiva de \dfrac{1}{x} é \ln|x|.
  2. \displaystyle \int -\frac{4x}{x^{2}+1}\,dx. Usamos a substituição u=x^{2}+1, então du=2x\,dx, ou seja x\,dx=\dfrac{du}{2}. Assim
\int -\frac{4x}{x^{2}+1}\,dx = -4\int \frac{x\,dx}{x^{2}+1} = -4\int \frac{1}{2}\frac{du}{u} = -2\int \frac{du}{u} = -2\ln|u| = -2\ln(x^{2}+1).
Observação: x^{2}+1>0 para todo x, então podemos escrever \ln(x^{2}+1) sem valor absoluto.
3) \displaystyle \int \frac{1}{x^{2}+1}\,dx = \arctan x.
Explicação: a primitiva de \dfrac{1}{1+x^{2}} é \arctan x.
Somando as três primitivas obtemos a antiderivada da integral dada:
4\ln|x| - 2\ln(x^{2}+1) + \arctan x + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Podemos, se quisermos, combinar os dois logaritmos em um único logaritmo usando propriedades de logaritmo:
4\ln|x| - 2\ln(x^{2}+1) = \ln\big(|x|^{4}\big) - \ln\big((x^{2}+1)^{2}\big) = \ln\!\left(\frac{|x|^{4}}{(x^{2}+1)^{2}}\right).
Mas a forma separada também é perfeitamente adequada para a resposta final. Mantemos a constante de integração C.

Resposta

4\ln|x| - 2\ln(x^{2}+1) + \arctan x + C

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