Questão 2. Calcule as integrais seguintes. 12pnts \int \frac{x+4}{x^{3}+x} d x.
Passo 1
O enunciado pede que se calcule a integral
\int \frac{x+4}{x^{3}+x}\,dx.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
\text{Integrando: }\frac{x+4}{x^{3}+x}.
Observações diretas da expressão que vão nos servir depois: o denominador pode ser fatorado como x(x^{2}+1) (isto é visível ao observar x^{3}+x=x(x^{2}+1)), e o numerador tem grau 1, que é menor que o grau do denominador (3). Estas informações bastam para prosseguir com a resolução.
Passo 2
Vamos decompor a fração em frações parciais. Primeiro lembro do porquê: quando o denominador é produto de fatores simples e/ou quadráticos irreduzíveis, uma maneira padrão é escrever a fração como soma de termos cujo integral é conhecido. Como o denominador fatorou em x (fator linear) e x^{2}+1 (quadrático irreduzível), a forma geral da decomposição é
onde A,B,C são constantes que vamos determinar. Também confirmamos que não é necessário fazer divisão de polinômios porque o grau do numerador é menor que o grau do denominador.
Passo 3
Eliminamos denominadores multiplicando ambos os lados por x(x^{2}+1)\). Obtemos a identidade polinomial
\[x+4 = A(x^{2}+1) + (Bx+C)x.
Agora expandimos o lado direito e agrupamos termos por potências de x:
x+4 = A x^{2} + A + B x^{2} + C x = (A+B)x^{2} + C x + A.
Comparando coeficientes entre os polinômios (coeficientes para x^{2}, x e termo constante) com o polinómio 0\cdot x^{2} + 1\cdot x + 4, obtemos o sistema
\begin{cases} A + B = 0,\\[4pt] C = 1,\\[4pt] A = 4. \end{cases}
Da terceira equação temos A=4\]. Com \(A=4 e a primeira equação vem B=-A=-4. Da segunda temos C=1. Portanto
A=4,\quad B=-4,\quad C=1.]
Passo 4
Substituindo os valores encontrados na decomposição, obtemos
Observação: x^{2}+1>0 para todo x, então podemos escrever \ln(x^{2}+1) sem valor absoluto.
3) \displaystyle \int \frac{1}{x^{2}+1}\,dx = \arctan x.
Explicação: a primitiva de \dfrac{1}{1+x^{2}} é \arctan x.
Somando as três primitivas obtemos a antiderivada da integral dada:
4\ln|x| - 2\ln(x^{2}+1) + \arctan x + C,
onde C é a constante de integração.
Passo 5
Podemos, se quisermos, combinar os dois logaritmos em um único logaritmo usando propriedades de logaritmo: