Seja D a região do semiplano superior limitada pelas curvas y=-2 x^{2}+2 e y=-x^{2}+1. 14ports
Calcule, usando uma integral, o volume do sólido obtido pela rotação da regiāo D em torno do eixo y.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao rotacionar em torno do eixo y a região D do semiplano superior limitada pelas curvas y=-2x^{2}+2 e y=-x^{2}+1. Informações dadas importantes: \;y=-2x^{2}+2, \;y=-x^{2}+1, e a rotação é em torno do eixo y. A tarefa é calcular esse volume usando uma integral.

Passo 2

Determinar os pontos de interseção das duas curvas para achar os limites em x. Igualamos as duas expressões de y:
-2x^{2}+2 = -x^{2}+1.
Resolvendo:
-2x^{2}+2 + x^{2} -1 = 0 \quad\Rightarrow\quad -x^{2}+1=0 \quad\Rightarrow\quad x^{2}=1.
Portanto as interseções ocorrem em x=\pm 1. Esses são os limites horizontais da região D.

Passo 3

Identificar qual curva é a superior (maior y) e qual é a inferior no intervalo [-1,1]. Avaliando em x=0 (um ponto interno),
y_{1}(-2x^{2}+2)=2,\qquad y_{2}(-x^{2}+1)=1,
logo -2x^{2}+2 está acima de -x^{2}+1. Portanto a altura vertical da região em um x qualquer é
h(x)=\bigl(\,-2x^{2}+2\bigr)-\bigl(\,-x^{2}+1\bigr)=1-x^{2}.

Passo 4

Escolher o método de cálculo do volume. A rotação é em torno do eixo y (vertical) e as curvas estão dadas por y=f(x). Pelo algoritmo que sigo, o método das cascas cilíndricas (método dos cilindros concêntricos) é o mais direto quando se gira uma região descrita por x em torno de um eixo vertical. Usar discos/arruelas exigiria expressar x em função de y e montar diferenças de raios, o que dá mais trabalho aqui. Vou então usar cascas cilíndricas.

Passo 5

Explicar e derivar a fórmula da casca cilíndrica (didático). Considere uma pequena faixa vertical em x entre x e x+\mathrm{d}x. Ao girar essa faixa em torno do eixo y ela gera uma casca cilíndrica de:
  • raio aproximado r=|x| (distância do eixo y ao ponto x),
  • altura h(x) (a diferença entre as curvas superior e inferior),
  • espessura \mathrm{d}x.
    A área lateral aproximada da casca é 2\pi r\cdot h(x) e o volume aproximado é essa área vezes a espessura:
\mathrm{d}V \approx 2\pi r\,h(x)\,\mathrm{d}x.
Integrando sobre os x que cobrem a região obtemos o volume:
V = 2\pi\int_{x=a}^{x=b} r\,h(x)\,\mathrm{d}x.
Aqui a=-1 e b=1, r=|x| e h(x)=1-x^{2}.

Passo 6

Montar a integral do volume usando a fórmula das cascas:
V = 2\pi\int_{-1}^{1} |x|\bigl(1-x^{2}\bigr)\,\mathrm{d}x.
Usamos a simetria: a função |x|(1-x^{2}) é par (mesma para x e -x), então
V = 2\pi\cdot 2\int_{0}^{1} x\bigl(1-x^{2}\bigr)\,\mathrm{d}x = 4\pi\int_{0}^{1}\bigl(x-x^{3}\bigr)\,\mathrm{d}x.

Passo 7

Calcular a integral passo a passo. Primeiro achamos a primitiva de x-x^{3}:
\int\bigl(x-x^{3}\bigr)\,\mathrm{d}x = \frac{x^{2}}{2} - \frac{x^{4}}{4} + C.
Avaliar de 0 a 1:
\left[\frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{4}}{4}\right]_{0}^{1} = \left(\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\right)-0 = \frac{1}{4}.

Passo 8

Multiplicar pelo fator externo para obter o volume:
V = 4\pi \cdot \frac{1}{4} = \pi.
Portanto o volume do sólido gerado é \pi (unidades de volume).

Resposta

\pi

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