Seja
a região do semiplano superior limitada pelas curvas
e
. 14ports
Calcule, usando uma integral, o volume do sólido obtido pela rotação da regiāo
em torno do eixo
.
Calcule, usando uma integral, o volume do sólido obtido pela rotação da regiāo
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido obtido ao rotacionar em torno do eixo
a região
do semiplano superior limitada pelas curvas
e
. Informações dadas importantes:
,
, e a rotação é em torno do eixo
. A tarefa é calcular esse volume usando uma integral.
Passo 2
Determinar os pontos de interseção das duas curvas para achar os limites em
. Igualamos as duas expressões de
:
Resolvendo:
Portanto as interseções ocorrem em
. Esses são os limites horizontais da região
.
Passo 3
Identificar qual curva é a superior (maior
) e qual é a inferior no intervalo
. Avaliando em
(um ponto interno),
logo
está acima de
. Portanto a altura vertical da região em um
qualquer é
Passo 4
Escolher o método de cálculo do volume. A rotação é em torno do eixo
(vertical) e as curvas estão dadas por
. Pelo algoritmo que sigo, o método das cascas cilíndricas (método dos cilindros concêntricos) é o mais direto quando se gira uma região descrita por
em torno de um eixo vertical. Usar discos/arruelas exigiria expressar
em função de
e montar diferenças de raios, o que dá mais trabalho aqui. Vou então usar cascas cilíndricas.
Passo 5
Explicar e derivar a fórmula da casca cilíndrica (didático). Considere uma pequena faixa vertical em
entre
e
. Ao girar essa faixa em torno do eixo
ela gera uma casca cilíndrica de:
- raio aproximado
(distância do eixo ao ponto ), - altura
(a diferença entre as curvas superior e inferior), - espessura
.
A área lateral aproximada da casca ée o volume aproximado é essa área vezes a espessura:
Integrando sobre os
que cobrem a região obtemos o volume:
Aqui
e
,
e
.
Passo 6
Montar a integral do volume usando a fórmula das cascas:
Usamos a simetria: a função
é par (mesma para
e
), então
Passo 7
Calcular a integral passo a passo. Primeiro achamos a primitiva de
:
Avaliar de
a
:
Passo 8
Multiplicar pelo fator externo para obter o volume:
Portanto o volume do sólido gerado é
(unidades de volume).