Questão 3(3,0) : Calcule a integral tripla
\iiint_{E}(4+8 y) d V
em que E é o tetraedro sólido delimitado pelos planos x=0, y=0, z=0 e x+y+z-1=0.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
\iiint_{E}(4+8y)\,dV
onde E é o tetraedro sólido limitado pelos planos x=0, y=0, z=0 e x+y+z-1=0.
Informações dadas e o que exatamente é pedido:
  • A região E está no primeiro octante: x\ge0, y\ge0, z\ge0.
  • A face oblíqua é o plano x+y+z=1, portanto todos os pontos de E satisfazem x+y+z\le1.
  • A função a integrar é 4+8y, que depende apenas de y.
  • Pedido: calcular o valor numérico da integral tripla indicada.

Passo 2

Como E é a região do primeiro octante abaixo do plano x+y+z=1, é natural descrevê-la por coordenadas cartesianas com limites aninhados. Para valores fixos de x e y, z varia entre 0 e 1-x-y. Para um x fixo, y varia entre 0 e 1-x. E x varia entre 0 e 1.
Escrevemos então a integral iterada (ordem dz\,dy\,dx):
\iiint_{E}(4+8y)\,dV= \int_{x=0}^{1}\int_{y=0}^{1-x}\int_{z=0}^{1-x-y}(4+8y)\,dz\,dy\,dx.

Passo 3

Breve explicação da ideia que usamos (Fubini/integração iterada):
  • A função 4+8y é contínua em todo o tetraedro E, então podemos calcular a integral tripla como uma integral iterada, integrando primeiro em z, depois em y e por fim em x.
  • A vantagem de integrar em z primeiro é que o integrando não depende de z, o que simplifica bastante.

Passo 4

Calcular a integral interna em z. Como o integrando não depende de z, temos
\int_{z=0}^{1-x-y}(4+8y)\,dz=(4+8y)\left[z\right]_{0}^{1-x-y}=(4+8y)(1-x-y).

Passo 5

Reduzimos a tripla integral a uma dupla integral sobre o triângulo T=\{(x,y):x\ge0,\\ y\ge0,\\ x+y\le1\}:
\int_{x=0}^{1}\int_{y=0}^{1-x}(4+8y)(1-x-y)\,dy\,dx.

Passo 6

Expandir algebricamente o integrando para facilitar a integração em y. Calculando termo a termo:
(4+8y)(1-x-y)=4(1-x-y)+8y(1-x-y).
Desenvolvendo:
4(1-x-y)=4-4x-4y,
8y(1-x-y)=8y-8xy-8y^{2}.
Somando:
(4+8y)(1-x-y)=4-4x+4y-8xy-8y^{2}.

Passo 7

Agora integramos em y de 0 até 1-x. Integramos termo a termo:
\int_{0}^{1-x}\bigl(4-4x+4y-8xy-8y^{2}\bigr)\,dy.
Calcular cada integral separadamente:
  • \displaystyle \int_{0}^{1-x}4\,dy=4(1-x).
  • \displaystyle \int_{0}^{1-x}(-4x)\,dy=-4x(1-x).
  • \displaystyle \int_{0}^{1-x}4y\,dy=4\cdot\frac{(1-x)^{2}}{2}=2(1-x)^{2}.
  • \displaystyle \int_{0}^{1-x}(-8xy)\,dy=-8x\cdot\frac{(1-x)^{2}}{2}=-4x(1-x)^{2}.
  • \displaystyle \int_{0}^{1-x}(-8y^{2})\,dy=-8\cdot\frac{(1-x)^{3}}{3}=-\frac{8}{3}(1-x)^{3}.
Somando esses resultados obtemos (agrupar termos de forma conveniente). Uma maneira simples é usar t=1-x para simplificar os polinômios; fazendo as contas chega-se a
\int_{0}^{1-x}(4+8y)(1-x-y)\,dy=2(1-x)^{2}+\frac{4}{3}(1-x)^{3}.

Passo 8

Agora resta integrar em x de 0 a 1:
\int_{0}^{1}\left(2(1-x)^{2}+\frac{4}{3}(1-x)^{3}\right)\,dx.
Usamos a fórmula simples \displaystyle \int_{0}^{1}(1-x)^{n}\,dx=\frac{1}{n+1} (pode ver trocando u=1-x). Assim:
\int_{0}^{1}2(1-x)^{2}\,dx=2\cdot\frac{1}{3}=\frac{2}{3},
\int_{0}^{1}\frac{4}{3}(1-x)^{3}\,dx=\frac{4}{3}\cdot\frac{1}{4}=\frac{1}{3}.
Somando os dois pedaços temos
\frac{2}{3}+\frac{1}{3}

Passo 9

Dicas finais para a prova e interpretação:
  • Sempre desenhe a região (aqui é o tetraedro no primeiro octante com vértices em (0,0,0), (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)) — isso ajuda a visualizar os limites.
  • Se o integrando não depende de uma das variáveis (aqui não depende de z), integre primeiro nessa variável para simplificar.
  • Para integrais sobre triângulos do tipo x\ge0,\\ y\ge0,\\ x+y\le1, é comum ter limites y de 0 a 1-x e x de 0 a 1.

Resposta

\,1

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