Questão
: Calcule a integral tripla
em que
é o tetraedro sólido delimitado pelos planos
e
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral tripla
onde
é o tetraedro sólido limitado pelos planos
,
,
e
.
Informações dadas e o que exatamente é pedido:
- A região
está no primeiro octante: , , . - A face oblíqua é o plano
, portanto todos os pontos de satisfazem . - A função a integrar é
, que depende apenas de . - Pedido: calcular o valor numérico da integral tripla indicada.
Passo 2
Como
é a região do primeiro octante abaixo do plano
, é natural descrevê-la por coordenadas cartesianas com limites aninhados. Para valores fixos de
e
,
varia entre
e
. Para um
fixo,
varia entre
e
. E
varia entre
e
.
Escrevemos então a integral iterada (ordem
):
Passo 3
Breve explicação da ideia que usamos (Fubini/integração iterada):
- A função
é contínua em todo o tetraedro , então podemos calcular a integral tripla como uma integral iterada, integrando primeiro em , depois em e por fim em . - A vantagem de integrar em
primeiro é que o integrando não depende de , o que simplifica bastante.
Passo 4
Calcular a integral interna em
. Como o integrando não depende de
, temos
Passo 5
Reduzimos a tripla integral a uma dupla integral sobre o triângulo
:
Passo 6
Expandir algebricamente o integrando para facilitar a integração em
. Calculando termo a termo:
Desenvolvendo:
Somando:
Passo 7
Agora integramos em
de
até
. Integramos termo a termo:
Calcular cada integral separadamente:
Somando esses resultados obtemos (agrupar termos de forma conveniente). Uma maneira simples é usar
para simplificar os polinômios; fazendo as contas chega-se a
Passo 8
Agora resta integrar em
de
a
:
Usamos a fórmula simples
(pode ver trocando
). Assim:
Somando os dois pedaços temos
Passo 9
Dicas finais para a prova e interpretação:
- Sempre desenhe a região (aqui é o tetraedro no primeiro octante com vértices em
, , , ) — isso ajuda a visualizar os limites. - Se o integrando não depende de uma das variáveis (aqui não depende de
), integre primeiro nessa variável para simplificar. - Para integrais sobre triângulos do tipo
, é comum ter limites de a e de a .