Questão 4(2,5) : Calcule
\iiint_{E} \frac{y}{\left[\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{2}+1\right]^{3}} d V
em que E é a região esférica $x{2}+y{2}+z^{2}
\leq 3 comy \leq 0 ez \geq 0$.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • Pede-se calcular a integral tripla
\iiint_{E} \frac{y}{\left[\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{2}+1\right]^{3}}\,dV.
  • A região E é a bola de raio \sqrt{3} centrada na origem, ou seja x^{2}+y^{2}+z^{2}\le 3, com as restrições adicionais y\le 0 e z\ge 0.
Informações úteis extraídas do enunciado:
  • O integrando depende de x,y,z através de x^{2}+y^{2}+z^{2} na parte do denominador, isto é, aparece r^{4} se usarmos r^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}.
  • Há um fator linear em y no numerador.
  • O domínio é uma porção esférica (parte de uma bola), limitada por planos que cortam a esfera: o semiespaço y\le 0 e o semiespaço z\ge 0.

Passo 2

Escolha de coordenadas e motivo (explicação didática):
  • Quando o integrando depende apenas de r=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} no denominador e quando a região é uma porção de bola, coordenadas esféricas deixam a integral muito mais simples porque a variável radial separa-se das angulares.
  • Em coordenadas esféricas padrão usamos
x=r\sin\varphi\cos\theta,\quad y=r\sin\varphi\sin\theta,\quad z=r\cos\varphi,
onde r\ge0 é a distância à origem, \varphi\in[0,\pi] é o ângulo polar medido a partir do eixo z (ou seja \varphi=0 no eixo +z), e \theta\in[0,2\pi) é o ângulo azimutal no plano xy.
  • O elemento de volume em esféricas vale
dV=r^{2}\sin\varphi\,dr\,d\varphi\,d\theta.
  • Observação prática: x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2} e, portanto, \left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{2}=r^{4}. Isso simplifica muito o denominador.

Passo 3

Expressar integrando e os limites em coordenadas esféricas (passo a passo):
  • Substituindo y=r\sin\varphi\sin\theta e dV=r^{2}\sin\varphi\,dr\,d\varphi\,d\theta, o integrando multiplicado por dV fica
\frac{y}{\left[(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}+1\right]^{3}}\,dV = \frac{r\sin\varphi\sin\theta}{\left(r^{4}+1\right)^{3}}\; r^{2}\sin\varphi\,dr\,d\varphi\,d\theta.
  • Agrupando termos:
\frac{r^{3}\sin^{2}\varphi\sin\theta}{\left(r^{4}+1\right)^{3}}\,dr\,d\varphi\,d\theta.
  • Agora os limites:
    • r vai de 0 até \sqrt{3} (pois r^{2}\le 3).
    • A condição z\ge 0 equivale a \cos\varphi\ge 0, ou seja \varphi\in[0,\tfrac{\pi}{2}].
    • A condição y\le 0 equivale a \sin\theta\le 0. Uma forma conveniente de escrever isso é \theta\in[\pi,2\pi] (qualquer intervalo de comprimento \pi onde \sin\theta\le0 serve; escolhemos [\pi,2\pi]).
  • Portanto a integral fica
\iiint_{E}\cdots = \int_{\theta=\pi}^{2\pi}\int_{\varphi=0}^{\pi/2}\int_{r=0}^{\sqrt{3}} \frac{r^{3}\sin^{2}\varphi\sin\theta}{\left(r^{4}+1\right)^{3}}\,dr\,d\varphi\,d\theta.

Passo 4

Separação das integrais (explicando por que dá pra separar):
  • A expressão é produto de uma função que depende só de r, uma que depende só de \varphi e uma que depende só de \theta. Assim a integral tripla separa-se em produto de integrais unidimensionais:
\left(\int_{0}^{\sqrt{3}}\frac{r^{3}}{\left(r^{4}+1\right)^{3}}\,dr\right) \left(\int_{0}^{\pi/2}\sin^{2}\varphi\,d\varphi\right) \left(\int_{\pi}^{2\pi}\sin\theta\,d\theta\right).
  • Essa separação é válida porque todas as integrais são propriamente definidas e a região de integração é um produto de intervalos nos parâmetros r,\varphi,\theta.

Passo 5

Calcular a integral em \theta (passo simples e importante):
  • Calcule
\int_{\pi}^{2\pi}\sin\theta\,d\theta.
  • Integramos: \int \sin\theta\,d\theta = -\cos\theta. Assim
\int_{\pi}^{2\pi}\sin\theta\,d\theta = \bigl[-\cos\theta\bigr]_{\theta=\pi}^{2\pi} = -\cos(2\pi) + \cos(\pi).
  • Sabendo \cos(2\pi)=1 e \cos(\pi)=-1, obtemos
\int_{\pi}^{2\pi}\sin\theta\,d\theta = -1 + (-1) = -2.

Passo 6

Calcular a integral em \varphi (usar identidade trigonométrica):
  • Calcule
\int_{0}^{\pi/2}\sin^{2}\varphi\,d\varphi.
  • Usar a identidade \sin^{2}\varphi=\dfrac{1-\cos(2\varphi)}{2}. Então
\int_{0}^{\pi/2}\sin^{2}\varphi\,d\varphi = \int_{0}^{\pi/2}\frac{1-\cos(2\varphi)}{2}\,d\varphi = \left[\frac{\varphi}{2}-\frac{\sin(2\varphi)}{4}\right]_{0}^{\pi/2}.
  • Avaliando os limites, \sin(\pi)=0 e \sin(0)=0, logo resta
\int_{0}^{\pi/2}\sin^{2}\varphi\,d\varphi = \frac{\pi}{4}.

Passo 7

Calcular a integral radial (substituição direta; explicar cada passo):
  • Precisamos calcular
\int_{0}^{\sqrt{3}}\frac{r^{3}}{\left(r^{4}+1\right)^{3}}\,dr.
  • Faça a substituição u=r^{4}+1. Então du=4r^{3}\,dr, ou seja r^{3}\,dr=\dfrac{du}{4}.
  • Os limites em u: quando r=0 tem u=0^{4}+1=1; quando r=\sqrt{3} tem u=(\sqrt{3})^{4}+1= (3^{2})+1=9+1=10.
  • A integral transforma-se em
\int_{u=1}^{10}\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{u^{3}}\,du = \frac{1}{4}\int_{1}^{10}u^{-3}\,du.
  • Integrando u^{-3}: \int u^{-3}\,du = \dfrac{u^{-2}}{-2}. Assim
\frac{1}{4}\left[\frac{u^{-2}}{-2}\right]_{1}^{10} = -\frac{1}{8}\left(u^{-2}\right)\Big|_{1}^{10} = -\frac{1}{8}\left(\frac{1}{10^{2}}-\frac{1}{1^{2}}\right).
  • Calculando os números:
\frac{1}{10^{2}}-\frac{1}{1}= \frac{1}{100}-1 = -\frac{99}{100}.
  • Multiplicando pelo fator -\dfrac{1}{8} obtém-se
-\frac{1}{8}\left(-\frac{99}{100}\right)=\frac{99}{800}.
  • Portanto
\int_{0}^{\sqrt{3}}\frac{r^{3}}{\left(r^{4}+1\right)^{3}}\,dr = \frac{99}{800}.

Passo 8

Juntar todas as peças e simplificar (passo final de cálculo):
  • Multiplicando os três resultados obtidos:
    • integral radial =\dfrac{99}{800},
    • integral em \varphi =\dfrac{\pi}{4},
    • integral em \theta =-2.
  • Produto:
\frac{99}{800}\cdot\frac{\pi}{4}\cdot(-2) = -\frac{99\pi}{800}\cdot\frac{2}{4} = -\frac{99\pi}{800}\cdot\frac{1}{2} = -\frac{99\pi}{1600}.
  • Observação interpretativa rápida: o resultado é negativo porque em toda a região E temos y\le 0, logo o numerador y é não-positivo e domina o sinal da integral (o restante do integrando é positivo).

Resposta

-\dfrac{99\pi}{1600}

Exercícios relacionados