Questão
: Calcule
em que
é a região esférica $x{2}+y{2}+z^{2}
\leq 3
y \leq 0
z \geq 0$.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
- Pede-se calcular a integral tripla
- A região
é a bola de raio centrada na origem, ou seja , com as restrições adicionais e .
Informações úteis extraídas do enunciado:
- O integrando depende de
através de na parte do denominador, isto é, aparece se usarmos . - Há um fator linear em
no numerador. - O domínio é uma porção esférica (parte de uma bola), limitada por planos que cortam a esfera: o semiespaço
e o semiespaço .
Passo 2
Escolha de coordenadas e motivo (explicação didática):
- Quando o integrando depende apenas de
no denominador e quando a região é uma porção de bola, coordenadas esféricas deixam a integral muito mais simples porque a variável radial separa-se das angulares. - Em coordenadas esféricas padrão usamos
onde
é a distância à origem,
é o ângulo polar medido a partir do eixo
(ou seja
no eixo
), e
é o ângulo azimutal no plano
.
- O elemento de volume em esféricas vale
- Observação prática:
e, portanto, . Isso simplifica muito o denominador.
Passo 3
Expressar integrando e os limites em coordenadas esféricas (passo a passo):
- Substituindo
e , o integrando multiplicado por fica
- Agrupando termos:
- Agora os limites:
-
vai de até (pois ). - A condição
equivale a , ou seja . - A condição
equivale a . Uma forma conveniente de escrever isso é (qualquer intervalo de comprimento onde serve; escolhemos ).
-
- Portanto a integral fica
Passo 4
Separação das integrais (explicando por que dá pra separar):
- A expressão é produto de uma função que depende só de
, uma que depende só de e uma que depende só de . Assim a integral tripla separa-se em produto de integrais unidimensionais:
- Essa separação é válida porque todas as integrais são propriamente definidas e a região de integração é um produto de intervalos nos parâmetros
.
Passo 5
Calcular a integral em
(passo simples e importante):
- Calcule
- Integramos:
. Assim
- Sabendo
e , obtemos
Passo 6
Calcular a integral em
(usar identidade trigonométrica):
- Calcule
- Usar a identidade
. Então
- Avaliando os limites,
e , logo resta
Passo 7
Calcular a integral radial (substituição direta; explicar cada passo):
- Precisamos calcular
- Faça a substituição
. Então , ou seja . - Os limites em
: quando tem ; quando tem . - A integral transforma-se em
- Integrando
: . Assim
- Calculando os números:
- Multiplicando pelo fator
obtém-se
- Portanto
Passo 8
Juntar todas as peças e simplificar (passo final de cálculo):
- Multiplicando os três resultados obtidos:
- integral radial
, - integral em
, - integral em
.
- integral radial
- Produto:
- Observação interpretativa rápida: o resultado é negativo porque em toda a região
temos , logo o numerador é não-positivo e domina o sinal da integral (o restante do integrando é positivo).