Questão 4 Calcule a integral dupla
onde
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
onde
.\n
Informações dadas:
Informações dadas:
A tarefa é obter o valor numérico dessa integral sobre o retângulo
.
Passo 2
Estratégia (explicação didática do método que vamos usar): para integrais duplas sobre retângulos é mais simples usar integrais iteradas. A ideia é integrar primeiro em relação a uma variável (mantendo a outra como constante) e depois integrar o resultado em relação à outra variável. Isso se apoia no Teorema de Fubini para funções contínuas em retângulos (aqui
é polinomial, logo contínua), que permite trocar a ordem de integração e escrever
Quando integramos em
, tratamos
como constante; quando integramos em
, tratamos
como constante.
Fórmulas usadas (aquelas que você precisa decorar para prova):
Aqui usaremos isso com potências inteiras.
Passo 3
Escrevemos a integral como integral iterada (integrando primeiro em
):
Também podemos separar a soma dentro da integral:
Passo 4
Calculamos cada integral interna em
. Lembre que ao integrar em
,
é constante.
Para a primeira parcela:
Para a segunda parcela:
Somando as duas parcelas obtemos a integral interna:
Passo 5
Agora integramos o resultado em
de
a
:
Calculamos cada termo usando as fórmulas de potência:
Primeiro termo:
Segundo termo:
Somando os dois termos: