Questão 4 Calcule a integral dupla
\iint_{R}\left(x^{2} y+2 x y^{2}\right) d A
onde R=[0,2] \times[1,3].

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{R}\left(x^{2} y+2 x y^{2}\right)\,dA
onde R=[0,2]\times[1,3].\n
Informações dadas:
\text{região }R:\;0\le x\le2,\;1\le y\le3.ã
\text{integrando: }f(x,y)=x^{2}y+2xy^{2}.
A tarefa é obter o valor numérico dessa integral sobre o retângulo R.

Passo 2

Estratégia (explicação didática do método que vamos usar): para integrais duplas sobre retângulos é mais simples usar integrais iteradas. A ideia é integrar primeiro em relação a uma variável (mantendo a outra como constante) e depois integrar o resultado em relação à outra variável. Isso se apoia no Teorema de Fubini para funções contínuas em retângulos (aqui f é polinomial, logo contínua), que permite trocar a ordem de integração e escrever
\iint_{R} f(x,y)\,dA = \int_{y=1}^{3}\left(\int_{x=0}^{2} f(x,y)\,dx\right)dy.
Quando integramos em x, tratamos y como constante; quando integramos em y, tratamos x como constante.
Fórmulas usadas (aquelas que você precisa decorar para prova):
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C\quad (n\neq -1),
\int a\,g(x)\,dx = a\int g(x)\,dx\quad\text{(constante \(a\) pode sair da integral).}
Aqui usaremos isso com potências inteiras.

Passo 3

Escrevemos a integral como integral iterada (integrando primeiro em x):
\iint_{R}\left(x^{2} y+2 x y^{2}\right)\,dA = \int_{y=1}^{3}\left(\int_{x=0}^{2}\big(x^{2}y+2xy^{2}\big)\,dx\right)dy.
Também podemos separar a soma dentro da integral:
\int_{x=0}^{2}\big(x^{2}y+2xy^{2}\big)\,dx = \int_{x=0}^{2} x^{2}y\,dx + \int_{x=0}^{2} 2x y^{2}\,dx.

Passo 4

Calculamos cada integral interna em x. Lembre que ao integrar em x, y é constante.
Para a primeira parcela:
\int_{x=0}^{2} x^{2}y\,dx = y\int_{0}^{2} x^{2}\,dx = y\left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{2} = y\cdot\frac{2^{3}}{3} = \frac{8y}{3}.
Para a segunda parcela:
\int_{x=0}^{2} 2x y^{2}\,dx = 2y^{2}\int_{0}^{2} x\,dx = 2y^{2}\left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{2} = 2y^{2}\cdot\frac{2^{2}}{2} = 2y^{2}\cdot2 = 4y^{2}.
Somando as duas parcelas obtemos a integral interna:
\int_{x=0}^{2}\big(x^{2}y+2xy^{2}\big)\,dx = \frac{8y}{3}+4y^{2}.

Passo 5

Agora integramos o resultado em y de 1 a 3:
\int_{y=1}^{3}\left(\frac{8y}{3}+4y^{2}\right)dy = \frac{8}{3}\int_{1}^{3} y\,dy + 4\int_{1}^{3} y^{2}\,dy.
Calculamos cada termo usando as fórmulas de potência:
Primeiro termo:
\frac{8}{3}\int_{1}^{3} y\,dy = \frac{8}{3}\left[\frac{y^{2}}{2}\right]_{1}^{3} = \frac{8}{3}\left(\frac{3^{2}}{2}-\frac{1^{2}}{2}\right) = \frac{8}{3}\cdot\frac{9-1}{2} = \frac{8}{3}\cdot\frac{8}{2} = \frac{8}{3}\cdot4 = \frac{32}{3}.
Segundo termo:
4\int_{1}^{3} y^{2}\,dy = 4\left[\frac{y^{3}}{3}\right]_{1}^{3} = 4\left(\frac{3^{3}}{3}-\frac{1^{3}}{3}\right) = 4\left(\frac{27-1}{3}\right) = 4\cdot\frac{26}{3} = \frac{104}{3}.
Somando os dois termos:
\frac{32}{3}+\frac{104}{3}=\frac{136}{3}.

Resposta

\frac{136}{3}

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