Questão 3 Encontre todos os pontos extremos da função
na região retangular
e os classifique como extremos locais ou absolutos.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar todos os pontos extremos da função
na região retangular
e classificar cada extremo como extremo local ou absoluto.
Informações relevantes fornecidas:
\ A função é dada explicitamente por
.\n
\ A região onde buscamos extremos é o retângulo fechado
, ou seja
e
.\n
\ Como a região é fechada e limitada e a função é polinomial (logo contínua), sabemos que existem pontos de máximo e mínimo absolutos em
. A tarefa é achar todos esses pontos e dizer se são também extremos locais.
Passo 2
Estratégia (explicada de modo didático): para funções de duas variáveis em um conjunto fechado e limitado, o procedimento padrão é:
\ Procurar pontos críticos na parte interior da região (onde o gradiente é zero). Esses pontos podem ser extremos ou não.\n
\ Verificar a fronteira do domínio — aqui a fronteira é formada pelas quatro arestas do retângulo e seus vértices. Em cada aresta a função vira uma função de uma variável; encontramos possíveis extremos internos da aresta e avaliamos também os extremos nos vértices.\n
\ Comparar os valores de
nos candidatos (pontos críticos e pontos de fronteira) para decidir qual é mínimo/ máximo absoluto. Para classificar localmente, verificamos se existe um ambiente (interseção com
) em que o ponto é extremo relativo.
Vou aplicar esse procedimento passo a passo. Antes, uma pequena aula sobre gradiente e pontos críticos: o gradiente
é o vetor das derivadas parciais
. Pontos onde
são candidatos a extremos (ou pontos de sela). Para funções suaves e convexas, o ponto com gradiente nulo costuma ser mínimo global.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais para achar pontos críticos:
Igualando ambas a zero (condição
):
Portanto há um ponto crítico em
.
Pequena explicação: resolvemos cada equação porque queremos os pontos onde ambas as derivadas parciais se anulam — isso significa que não há direção infinitesimal de aumento nem de diminuição no sentido das coordenadas, tornando esse ponto um candidato a extremo.
Passo 4
Interpretação geométrica da função (ferramenta útil): completar o quadrado para entender a forma de
.
Isto mostra que
é uma parábola convexa (um paraboloide) com “fundo” no ponto
. O valor mínimo global (sem restrição) ocorre onde as parcelas quadráticas são zero, ou seja em
, com valor
.
Comentário didático: completar o quadrado é uma técnica que transforma
em
, deixando explícito o vértice da parábola. Aqui fizemos para
e
separadamente e vimos que o centro do paraboloide é
.
Passo 5
Verificar posição do ponto crítico em relação à região
: o ponto
tem
e
. Assim
pertence a
, mas note que
é o limite superior do intervalo — ou seja
está sobre a aresta superior do retângulo (não no interior aberto em
). Mesmo assim é um candidato legítimo: todo ponto da fronteira pode ser extremo relativo/absoluto para a restrição.
Passo 6
Analisar as quatro arestas do retângulo reduzindo a função a uma variável em cada uma e encontrando extremos nessas arestas.
Aresta
:
É uma parábola com mínimo em
(dentro do intervalo), valor mínimo
. Extremos nos extremos do intervalo:
.
Aresta
(a aresta superior, onde está o ponto crítico):
Mínimo em
(dentro do intervalo), com
. Valores nas extremidades:
.
Aresta
:
Mínimo em
(na extremidade do intervalo), com
. Avaliações:
.
Aresta
:
Mínimo em
(na extremidade), com
. Avaliações:
.
Explicação didática: em cada aresta substituímos a coordenada fixa e obtemos uma função quadrática unidimensional. Para quadráticas
com
(abertura para cima) o ponto crítico é um mínimo; para
seria máximo. Aqui sempre
, então temos mínimos internos em alguns casos e os máximos ocorrem nas extremidades do intervalo.
Passo 7
Listar todos os candidatos (pontos críticos e extremos das arestas e vértices) com seus valores para comparar:
Pontos já encontrados com suas avaliações (usei a forma completada para facilitar):
Candidatos e valores:
\n
(mínimo da aresta
)
\n
\n
Vértices:
\n
\n
Vértices:
Também observamos valores extremos internos das arestas já anotados: por exemplo na aresta
o máximo na aresta foi
em
, e o mínimo da aresta
foi
em
.
Passo 8
Comparar valores para decidir extremos absolutos:
- O menor valor encontrado entre todos os candidatos é
em . Logo é o mínimo absoluto em . - O maior valor encontrado é
em . Logo é o máximo absoluto em .
Classificação local vs. absoluta (explicação): um extremo absoluto é, por definição, também um extremo local quando existe um vizinhança relativa (interseção com
) onde o ponto tem valor menor/maior que os demais pontos dessa vizinhança. No nosso caso:
tem gradiente nulo e, olhando as direções possíveis dentro de
(subindo/descendo
e descendo
para permanecer em
), qualquer pequeno deslocamento dentro de
aumenta
(pois a forma é convexa com mínimo no centro), então
é também um mínimo local relativo em
.\n
é um vértice da fronteira; ao considerar uma pequena vizinhança relativa (isto é, vizinhança intersectada com
), os valores próximos têm
com estrito decaimento ao se mover para o interior, portanto
é um máximo local relativo em
(além de absoluto).
Pontos como
,
,
não são máximos/ mínimos absolutos do retângulo (são apenas mínimos locais em suas arestas ou pontos de interesse), então não os consideramos extremos globais.
Resposta
Mínimo absoluto e mínimo local:
com
.\n
Máximo absoluto e máximo local: com
.
Máximo absoluto e máximo local: