Questão 2 Dada a função
:
(a) Calcule o vetor gradiente
(b) Encontre a derivada direcional de
no ponto
na direção do vetor
(c) Determine a direção de maior crescimento de
no ponto
(a) Calcule o vetor gradiente
(b) Encontre a derivada direcional de
(c) Determine a direção de maior crescimento de
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede três coisas:
(a) Calcular o vetor gradiente .
(b) Encontrar a derivada direcional de no ponto
na direção do vetor
.
(c) Determinar a direção de maior crescimento de no ponto
.
(a) Calcular o vetor gradiente
(b) Encontrar a derivada direcional de
(c) Determinar a direção de maior crescimento de
Informações relevantes fornecidas: a expressão de
e o vetor
. Não há outras restrições nem dados faltando.
Passo 2
O que é o gradiente e como calculamos: o gradiente de uma função de duas variáveis é o vetor formado pelas derivadas parciais em relação a cada variável. Em símbolos,
Aqui cada derivada parcial significa: ao calcular
tratamos
como constante; ao calcular
tratamos
como constante. Vou aplicar isso a
.
Passo 3
Calculemos
passo a passo. Tratando
como constante,
é apenas um multiplicador constante, então
Agora
. Tratando
como constante,
é constante e a derivada de
em relação a
é
, logo
Passo 4
Juntando as duas componentes obtemos o gradiente geral:
Isto responde (a). Interpretação rápida:
aponta no sentido de crescimento mais rápido de
e suas componentes medem as taxas de variação em cada direção coordenada.
Passo 5
Agora vamos à derivada direcional em (b). Primeiro a fórmula: a derivada direcional de
no ponto
na direção do vetor unitário
é
ou seja, o produto escalar entre o gradiente no ponto e o vetor unidade da direção escolhida. Importante: se o vetor dado não for unitário, devemos normalizá-lo (dividir pelo seu comprimento) antes de usar a fórmula.
Calculemos o comprimento de
:
Passo 6
O vetor unitário correspondente é
Agora precisamos do gradiente em
. Substituindo
e
na expressão do gradiente:
porque
.
Passo 7
Finalmente fazemos o produto escalar para obter a derivada direcional:
Se quiser uma aproximação numérica,
.
Passo 8
Para (c): teoria e aplicação. Teorema útil: a direção de maior crescimento de
em um ponto é a direção do vetor gradiente no ponto. Ou seja, entre todos os vetores unitários
, o valor de
é máximo quando
aponta na mesma direção de
; o valor máximo é
.
Já calculamos
. A direção (vetor) de maior crescimento é, portanto, qualquer múltiplo positivo de
, e o vetor unitário nessa direção é
O valor máximo da derivada direcional (taxa máxima de crescimento) em
é
, que é ligeiramente maior que
(conferir:
).
Resposta
(a)
(b) (usando
)
(c) Direção de maior crescimento em : vetor proporcional a
; vetor unitário
.
(b)
(c) Direção de maior crescimento em