Questão 2 Dada a função f(x, y)=x^{2} e^{y} :
(a) Calcule o vetor gradiente \nabla f(x, y)
(b) Encontre a derivada direcional de f no ponto (2,0) na direção do vetor \mathbf{v}= \langle 3,4\rangle
(c) Determine a direção de maior crescimento de f no ponto (2,0)

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y)=x^{2}e^{y} e pede três coisas:
(a) Calcular o vetor gradiente \nabla f(x,y).
(b) Encontrar a derivada direcional de f no ponto (2,0) na direção do vetor \mathbf{v}=\langle 3,4\rangle.
(c) Determinar a direção de maior crescimento de f no ponto (2,0).
Informações relevantes fornecidas: a expressão de f(x,y) e o vetor \mathbf{v}=\langle 3,4\rangle. Não há outras restrições nem dados faltando.

Passo 2

O que é o gradiente e como calculamos: o gradiente de uma função de duas variáveis é o vetor formado pelas derivadas parciais em relação a cada variável. Em símbolos,
\nabla f(x,y)=\left\langle \frac{\partial f}{\partial x},\;\frac{\partial f}{\partial y}\right\rangle.
Aqui cada derivada parcial significa: ao calcular \frac{\partial f}{\partial x} tratamos y como constante; ao calcular \frac{\partial f}{\partial y} tratamos x como constante. Vou aplicar isso a f(x,y)=x^{2}e^{y}.

Passo 3

Calculemos \frac{\partial f}{\partial x} passo a passo. Tratando y como constante, e^{y} é apenas um multiplicador constante, então
\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\big(x^{2}e^{y}\big)=\bigg(\frac{\partial}{\partial x}x^{2}\bigg)\cdot e^{y}=2x\,e^{y}.
Agora \frac{\partial f}{\partial y}. Tratando x como constante, x^{2} é constante e a derivada de e^{y} em relação a y é e^{y}, logo
\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\big(x^{2}e^{y}\big)=x^{2}\cdot\frac{\partial}{\partial y}e^{y}=x^{2}e^{y}.

Passo 4

Juntando as duas componentes obtemos o gradiente geral:
\nabla f(x,y)=\langle 2x\,e^{y},\;x^{2}e^{y}\rangle.
Isto responde (a). Interpretação rápida: \nabla f aponta no sentido de crescimento mais rápido de f e suas componentes medem as taxas de variação em cada direção coordenada.

Passo 5

Agora vamos à derivada direcional em (b). Primeiro a fórmula: a derivada direcional de f no ponto P na direção do vetor unitário \mathbf{u} é
D_{\mathbf{u}}f(P)=\nabla f(P)\cdot\mathbf{u},
ou seja, o produto escalar entre o gradiente no ponto e o vetor unidade da direção escolhida. Importante: se o vetor dado não for unitário, devemos normalizá-lo (dividir pelo seu comprimento) antes de usar a fórmula.
Calculemos o comprimento de \mathbf{v}=\langle 3,4\rangle:
\|\mathbf{v}\|=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5.

Passo 6

O vetor unitário correspondente é
\mathbf{u}=\frac{\mathbf{v}}{\|\mathbf{v}\|}=\left\langle \frac{3}{5},\;\frac{4}{5}\right\rangle.
Agora precisamos do gradiente em (2,0). Substituindo x=2 e y=0 na expressão do gradiente:
\nabla f(2,0)=\left\langle 2\cdot 2\,e^{0},\;2^{2}e^{0}\right\rangle=\langle 4\cdot 1,\;4\cdot 1\rangle=\langle 4,4\rangle,
porque e^{0}=1.

Passo 7

Finalmente fazemos o produto escalar para obter a derivada direcional:
D_{\mathbf{u}}f(2,0)=\nabla f(2,0)\cdot\mathbf{u}=\langle 4,4\rangle\cdot\left\langle \frac{3}{5},\frac{4}{5}\right\rangle =\frac{1}{5}(4\cdot 3+4\cdot 4)=\frac{1}{5}(12+16)=\frac{28}{5}.
Se quiser uma aproximação numérica, \tfrac{28}{5}=5{,}6.

Passo 8

Para (c): teoria e aplicação. Teorema útil: a direção de maior crescimento de f em um ponto é a direção do vetor gradiente no ponto. Ou seja, entre todos os vetores unitários \mathbf{u}, o valor de D_{\mathbf{u}}f(P) é máximo quando \mathbf{u} aponta na mesma direção de \nabla f(P); o valor máximo é \|\nabla f(P)\|.
Já calculamos \nabla f(2,0)=\langle 4,4\rangle. A direção (vetor) de maior crescimento é, portanto, qualquer múltiplo positivo de \langle 4,4\rangle, e o vetor unitário nessa direção é
\frac{\langle 4,4\rangle}{\|\langle 4,4\rangle\|}=\frac{\langle 4,4\rangle}{\sqrt{4^{2}+4^{2}}}=\frac{\langle 4,4\rangle}{4\sqrt{2}}=\left\langle \frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\right\rangle.
O valor máximo da derivada direcional (taxa máxima de crescimento) em (2,0) é \|\nabla f(2,0)\|=4\sqrt{2}, que é ligeiramente maior que \tfrac{28}{5} (conferir: 4\sqrt{2}\approx 5{,}657>5{,}6).

Resposta

(a) \nabla f(x,y)=\langle 2x\,e^{y},\;x^{2}e^{y}\rangle
(b) D_{\mathbf{v}}f(2,0)=\dfrac{28}{5} (usando \mathbf{u}=\langle 3/5,4/5\rangle)
(c) Direção de maior crescimento em (2,0): vetor proporcional a \langle 4,4\rangle; vetor unitário \displaystyle \left\langle \frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\right\rangle.

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