QUESTÃO 1 - Calcule a integral de f ao longo do contorno C, onde f e C são especificados em cada caso.
f(z)=|z|, C=\left\{z=r e^{i \theta}: 0 \leq \theta \leq \pi\right\}

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral de linha
\int_{C}f(z)\,dz
sendo f(z)=|z| e C o semicírculo superior de raio r dado por
C=\{\,z=r e^{i\theta}:0\le\theta\le\pi\}.
Como f não é holomorfa, vamos usar a definição de integral no plano complexo via parametrização de C.

Passo 2

Parametrizamos C por \theta:
z(\theta)=r e^{i\theta},\quad 0\le\theta\le\pi.
Então
|z(\theta)|=r
e
dz(\theta)=\frac{d}{d\theta}\bigl(r e^{i\theta}\bigr)\,d\theta =i\,r e^{i\theta}\,d\theta.

Passo 3

Substituindo na integral:
\int_{C}|z|\,dz =\int_{0}^{\pi}r\;\bigl(i\,r e^{i\theta}\bigr)\,d\theta =i\,r^{2}\int_{0}^{\pi}e^{i\theta}d\theta.
Calculamos
\int_{0}^{\pi}e^{i\theta}d\theta =\Bigl[\frac{e^{i\theta}}{i}\Bigr]_{0}^{\pi} =\frac{e^{i\pi}-1}{i} =\frac{-1-1}{i} =-\frac{2}{i} =2\,i,
logo
i\,r^{2}\cdot 2\,i =i\,r^{2}\cdot 2\,i =2\,i^{2}\,r^{2} =-2\,r^{2}.

Resposta

-2r^{2}

Exercícios relacionados