QUESTÃO 1 - Calcule a integral de f ao longo do contorno C, onde f e C são especificados em cada caso.
f(z)=z^{2}, C=\left\{z=r e^{i \theta}:-\pi \leq \theta \leq \pi\right\}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int_{C}f(z)\,dz
onde f(z)=z^{2} e C é o círculo de raio r descrito por
z = r\,e^{i\theta},\quad -\pi\le\theta\le\pi.
Podemos resolver por parametrização ou, de forma mais rápida, notar que f é inteira (analítica em todo \mathbb{C}) e C é um contorno fechado, então a integral deve ser zero por Teorema de Cauchy. Ainda assim, vamos ilustrar a técnica de parametrização.

Passo 2

Parametrizamos C por
z(\theta)=r\,e^{i\theta},\quad dz=i\,r\,e^{i\theta}\,d\theta,\quad \theta\in[-\pi,\pi].
Substituindo em f(z)\,dz temos
f\bigl(z(\theta)\bigr)\,dz = \bigl(r\,e^{i\theta}\bigr)^{2}\,\bigl(i\,r\,e^{i\theta}\,d\theta\bigr) = i\,r^{3}\,e^{3i\theta}\,d\theta.

Passo 3

A integral fica
\int_{C}z^{2}\,dz = i\,r^{3}\int_{-\pi}^{\pi}e^{3i\theta}\,d\theta.
Como
\int_{-\pi}^{\pi}e^{3i\theta}\,d\theta =\left[\frac{e^{3i\theta}}{3i}\right]_{-\pi}^{\pi} =\frac{1}{3i}\bigl(e^{3i\pi}-e^{-3i\pi}\bigr) =\frac{1}{3i}\bigl(-1-(-1)\bigr)=0,
segue que
\int_{C}z^{2}\,dz = i\,r^{3}\cdot 0 = 0.

Passo 4

De forma geral, como f(z)=z^{2} é analítica em todo o plano e C é um contorno fechado, o Teorema de Cauchy garante imediatamente
\int_{C}z^{2}\,dz=0.

Resposta

0

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