Determine as equações:
(i) do plano tangente e
(ii) da reta normal para a superfície dada no ponto especificado.
a) x y+y z+z x=3,(1,1,1)
b) x y z=6,(1,2,3)
c) x^{2}+y^{2}-z^{2}-2 x y+4 x z=4,(1,0,1)
d) x^{2}-2 y^{2}-3 z^{2}+x y z=4,(3,-2,-1)
e) x e^{y z}=1,(1,0,5)
f) 4 x^{2}+y^{2}+z^{2}=24,(2,2,2)
g) x^{2}-2 y^{2}+z^{2}=3,(-1,1,-2)

Passo 1

O enunciado pede, para cada uma das superfícies dadas, duas coisas no ponto indicado:
  1. a equação do plano tangente à superfície no ponto;
  2. a equação da reta normal (reta ortogonal ao plano tangente que passa pelo ponto).
Dados (para cada item):
a) superfície \;x y+y z+z x=3\;, ponto \;(1,1,1).
b) superfície \;x y z=6\;, ponto \;(1,2,3).
c) superfície \;x^{2}+y^{2}-z^{2}-2 x y+4 x z=4\;, ponto \;(1,0,1).
d) superfície \;x^{2}-2 y^{2}-3 z^{2}+x y z=4\;, ponto \;(3,-2,-1).
e) superfície \;x e^{y z}=1\;, ponto \;(1,0,5).
f) superfície \;4 x^{2}+y^{2}+z^{2}=24\;, ponto \;(2,2,2).
g) superfície \;x^{2}-2 y^{2}+z^{2}=3\;, ponto \;(-1,1,-2).

Passo 2

Antes de calcular: a técnica geral e por que funciona (aula rápida e prática).\n
  • Para uma superfície dada implicitamente por \;F(x,y,z)=0\;, o vetor gradiente \nabla F = \bigl(F_x,\,F_y,\,F_z\bigr) em um ponto é perpendicular (normal) à superfície naquele ponto. Aqui F_x é a derivada parcial de F em relação a x, e análogos para F_y,F_z. Vou te lembrar: derivada parcial significa derivar considerando as outras variáveis constantes — é só como derivar uma função de uma variável, mantendo as demais fixas.\n
  • Portanto, o plano tangente em (x_0,y_0,z_0) tem equação
\nabla F(x_0,y_0,z_0)\cdot\bigl(x-x_0,\;y-y_0,\;z-z_0\bigr)=0.
Isto é, explicitamente,
F_x(x_0,y_0,z_0)\,(x-x_0)+F_y(x_0,y_0,z_0)\,(y-y_0)+F_z(x_0,y_0,z_0)\,(z-z_0)=0.
  • A reta normal passa por (x_0,y_0,z_0) e tem direção dada por \nabla F(x_0,y_0,z_0). Portanto uma forma paramétrica da reta normal é
\bigl(x,y,z\bigr) = \bigl(x_0,y_0,z_0\bigr) + t\,\nabla F(x_0,y_0,z_0),
ou coordenada a coordenada:
x=x_0+F_x(x_0,y_0,z_0)\,t,\quad y=y_0+F_y(x_0,y_0,z_0)\,t,\quad z=z_0+F_z(x_0,y_0,z_0)\,t.
  • Plano tangente e reta normal são formas práticas: o plano usa o produto escalar para impor perpendicularidade; a reta usa o vetor normal como direção.
Agora aplico esse método em cada item, calculando as derivadas parciais passo a passo, avaliando no ponto e escrevendo as equações.

Passo 3

a) Para \;F(x,y,z)=x y+y z+z x-3.\n
Cálculo das parciais:\n
F_x = \frac{\partial}{\partial x}(x y+y z+z x-3)=y+z,
F_y = x+z,
F_z = x+y.
Avaliação em (1,1,1): \;F_x(1,1,1)=2,\;F_y(1,1,1)=2,\;F_z(1,1,1)=2.\n
Plano tangente:
2(x-1)+2(y-1)+2(z-1)=0.
Simplificando:
x+y+z=3.
Reta normal (usando vetor normal (2,2,2); posso simplificar direção para (1,1,1)):
x=1+t,\quad y=1+t,\quad z=1+t.

Passo 4

b) Para \;F(x,y,z)=x y z-6.\n
Parciais:\n
F_x = y z,\quad F_y = x z,\quad F_z = x y.
Avaliação em (1,2,3): \;F_x=2\cdot3=6,\;F_y=1\cdot3=3,\;F_z=1\cdot2=2.\n
Plano tangente:
6(x-1)+3(y-2)+2(z-3)=0.
Se quiser expandir: 6x-6+3y-6+2z-6=0\Rightarrow 6x+3y+2z-18=0.\n
Reta normal:
x=1+6t,\quad y=2+3t,\quad z=3+2t.

Passo 5

c) Para \;F(x,y,z)=x^{2}+y^{2}-z^{2}-2 x y+4 x z-4.\n
Parciais (derive termo a termo):
F_x = 2x -2y +4z,
F_y = 2y -2x,
F_z = -2z +4x.
Avaliação em (1,0,1):\n
F_x(1,0,1)=2\cdot1-2\cdot0+4\cdot1=6,
F_y(1,0,1)=2\cdot0-2\cdot1=-2,
F_z(1,0,1)=-2\cdot1+4\cdot1=2.
Plano tangente:
6(x-1)-2(y-0)+2(z-1)=0.
Simplificando: 6x-6-2y+2z-2=0\Rightarrow 6x-2y+2z-8=0. Dividindo por 2:
3x-y+z-4=0.
Reta normal:
x=1+6t,\quad y=0-2t,\quad z=1+2t.

Passo 6

d) Para \;F(x,y,z)=x^{2}-2 y^{2}-3 z^{2}+x y z-4.\n
Parciais:\n
F_x = 2x + y z,
F_y = -4y + x z,
F_z = -6z + x y.
Avaliação em (3,-2,-1): calculei y z=(-2)\cdot(-1)=2.\n
F_x(3,-2,-1)=2\cdot3+2=8,
F_y(3,-2,-1)=-4\cdot(-2)+3\cdot(-1)=8-3=5,
F_z(3,-2,-1)=-6\cdot(-1)+3\cdot(-2)=6-6=0.
Plano tangente:
8(x-3)+5(y+2)+0\,(z+1)=0.
Simplificando (o termo em z some):
8x+5y-14=0.
Reta normal (direção (8,5,0)):
x=3+8t,\quad y=-2+5t,\quad z=-1.

Passo 7

e) Para \;F(x,y,z)=x e^{y z}-1.\n
Aqui use regra da cadeia: e^{y z} é função do produto y z.\n
Parciais:\n
F_x = e^{y z},
F_y = x\,e^{y z}\cdot z,
F_z = x\,e^{y z}\cdot y.
Avaliação em (1,0,5): primeiro y z=0\cdot5=0\Rightarrow e^{0}=1.\n
F_x(1,0,5)=1,\quad F_y(1,0,5)=1\cdot1\cdot5=5,\quad F_z(1,0,5)=1\cdot1\cdot0=0.
Plano tangente:
1\,(x-1)+5\,(y-0)+0\,(z-5)=0,
isto é
x-1+5y=0\quad\Longrightarrow\quad x+5y=1.
Reta normal:
x=1+t,\quad y=0+5t,\quad z=5.

Passo 8

f) Para \;F(x,y,z)=4 x^{2}+y^{2}+z^{2}-24.\n
Parciais:
F_x = 8x,\quad F_y = 2y,\quad F_z = 2z.
Avaliação em (2,2,2):
F_x=8\cdot2=16,\quad F_y=2\cdot2=4,\quad F_z=2\cdot2=4.
Plano tangente:
16(x-2)+4(y-2)+4(z-2)=0.
Simplificando: 16x+4y+4z-48=0. Dividindo por 4:
4x+y+z-12=0.
Reta normal (direção (16,4,4) que pode simplificar para (4,1,1)):
x=2+4t,\quad y=2+t,\quad z=2+t.

Passo 9

g) Para \;F(x,y,z)=x^{2}-2 y^{2}+z^{2}-3.\n
Parciais:
F_x = 2x,\quad F_y = -4y,\quad F_z = 2z.
Avaliação em (-1,1,-2):
F_x=2\cdot(-1)=-2,\quad F_y=-4\cdot1=-4,\quad F_z=2\cdot(-2)=-4.
Plano tangente:
-2(x+1)-4(y-1)-4(z+2)=0.
Simplificando: -2x-2-4y+4-4z-8=0\Rightarrow -2x-4y-4z-6=0. Multiplicando por -1 e dividindo por 2:
x+2y+2z+3=0.
Reta normal (direção (-2,-4,-4), posso usar (2,4,4) invertendo sinal para deixar os coeficientes positivos):
x=-1+2t,\quad y=1+4t,\quad z=-2+4t.

Resposta

a) plano: x+y+z=3
a) reta normal: x=1+t,\;y=1+t,\;z=1+t
b) plano: 6(x-1)+3(y-2)+2(z-3)=0
b) reta normal: x=1+6t,\;y=2+3t,\;z=3+2t
c) plano: 3x-y+z-4=0
c) reta normal: x=1+6t,\;y=-2t,\;z=1+2t
d) plano: 8x+5y-14=0
d) reta normal: x=3+8t,\;y=-2+5t,\;z=-1
e) plano: x+5y=1
e) reta normal: x=1+t,\;y=5t,\;z=5
f) plano: 4x+y+z-12=0
f) reta normal: x=2+4t,\;y=2+t,\;z=2+t
g) plano: x+2y+2z+3=0
g) reta normal: x=-1+2t,\;y=1+4t,\;z=-2+4t

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