Determine as equações:
(i) do plano tangente e
(ii) da reta normal para a superfície dada no ponto especificado.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
(i) do plano tangente e
(ii) da reta normal para a superfície dada no ponto especificado.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
Passo 1
O enunciado pede, para cada uma das superfícies dadas, duas coisas no ponto indicado:
- a equação do plano tangente à superfície no ponto;
- a equação da reta normal (reta ortogonal ao plano tangente que passa pelo ponto).
Dados (para cada item):
a) superfície , ponto
.
b) superfície , ponto
.
c) superfície , ponto
.
d) superfície , ponto
.
e) superfície , ponto
.
f) superfície , ponto
.
g) superfície , ponto
.
a) superfície
b) superfície
c) superfície
d) superfície
e) superfície
f) superfície
g) superfície
Passo 2
Antes de calcular: a técnica geral e por que funciona (aula rápida e prática).\n
- Para uma superfície dada implicitamente por
, o vetor gradiente em um ponto é perpendicular (normal) à superfície naquele ponto. Aqui é a derivada parcial de em relação a , e análogos para . Vou te lembrar: derivada parcial significa derivar considerando as outras variáveis constantes — é só como derivar uma função de uma variável, mantendo as demais fixas.\n - Portanto, o plano tangente em
tem equação
Isto é, explicitamente,
- A reta normal passa por
e tem direção dada por . Portanto uma forma paramétrica da reta normal é
ou coordenada a coordenada:
- Plano tangente e reta normal são formas práticas: o plano usa o produto escalar para impor perpendicularidade; a reta usa o vetor normal como direção.
Agora aplico esse método em cada item, calculando as derivadas parciais passo a passo, avaliando no ponto e escrevendo as equações.
Passo 3
a) Para
.\n
Cálculo das parciais:\n
Cálculo das parciais:\n
Avaliação em
:
\n
Plano tangente:
Plano tangente:
Simplificando:
Reta normal (usando vetor normal
; posso simplificar direção para
):
Passo 4
b) Para
.\n
Parciais:\n
Parciais:\n
Avaliação em
:
\n
Plano tangente:
Plano tangente:
Se quiser expandir:
.\n
Reta normal:
Reta normal:
Passo 5
c) Para
.\n
Parciais (derive termo a termo):
Parciais (derive termo a termo):
Avaliação em
:\n
Plano tangente:
Simplificando:
. Dividindo por
:
Reta normal:
Passo 6
d) Para
.\n
Parciais:\n
Parciais:\n
Avaliação em
: calculei
.\n
Plano tangente:
Simplificando (o termo em
some):
Reta normal (direção
):
Passo 7
e) Para
.\n
Aqui use regra da cadeia: é função do produto
.\n
Parciais:\n
Aqui use regra da cadeia:
Parciais:\n
Avaliação em
: primeiro
.\n
Plano tangente:
isto é
Reta normal:
Passo 8
f) Para
.\n
Parciais:
Parciais:
Avaliação em
:
Plano tangente:
Simplificando:
. Dividindo por
:
Reta normal (direção
que pode simplificar para
):
Passo 9
g) Para
.\n
Parciais:
Parciais:
Avaliação em
:
Plano tangente:
Simplificando:
. Multiplicando por
e dividindo por
:
Reta normal (direção
, posso usar
invertendo sinal para deixar os coeficientes positivos):
Resposta
a) plano:
a) reta normal:
a) reta normal:
b) plano:
b) reta normal:
b) reta normal:
c) plano:
c) reta normal:
c) reta normal:
d) plano:
d) reta normal:
d) reta normal:
e) plano:
e) reta normal:
e) reta normal:
f) plano:
f) reta normal:
f) reta normal:
g) plano:
g) reta normal:
g) reta normal: